自动控制原理-胡寿松-第六版第二章ppt

第二章控制系统的数学模型主要内容:1.数学模型的概念,建模的原则2.传递函数3.系统的结构图和信号流图2.1.1什么是数学模型?所谓的数学模型，是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。控制系统定量分析的基础。2.1.2数学模型的特点1)相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。抽象的变量和系统2)简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合理3)动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析4)静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数2.1.3数学模型的类型1)微分方程：时域其它模型的基础直观求解繁琐2)传递函数：复频域微分方程拉氏变换后的结果3)频率特性：频域分析方法不同，各有所长2-1数学模型的概念2.1.4数学模型的建立方法1)分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程，合在一起。2)实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系统辨识的方法，得到数学模型。建模原则：选择合适的分析方法－确定相应的数学模型－简化2.2.1列写微分方程式的一般步骤1)分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，搞清各变量之间的关系。2)忽略一些次要因素，合理简化。2.2系统微分方程的建立3)根据相关基本定律，列出各部分的原始方程式。4)列写中间变量的辅助方程。方程数与变量数相等！5)联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。6)将方程式化成标准形。与输出有关的放在左边，与输入有关的放在右边，导数项按降阶排列，系数化为有物理意义的形式。三个基本的无源元件：质量m,弹簧k,阻尼器f对应三种阻碍运动的力:惯性力ma;弹性力ky;阻尼力fv例2-1弹簧-质量-阻尼器串联系统。试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移y(t)为输出量的运动方程式。解：遵照列写微分方程的一般步骤有：（1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为中间变量。（2）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，系统处于平衡状态。KmfF(t)y(t)2.2.2机械平移系统举例（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即kytFk)()(dtdyffvtFf（5）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中间变量,得)(22tFdtdyfkydtydm（6）整理方程得标准形)(122tFkydtdykfdtydkm)()()(22dtydmtFtFtFFfk（4）写中间变量与输出量的关系式KmfF(t)y(t)2.2.3电路系统举例例2-2电阻－电感－电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。令Tm2=m/k，Tf=f/k，则方程化为)(1222tFkydtdyTdtydTfmRCur(t)uc(t)L量纲s(课本上有推导,p28)，静态放大倍数1/K解：（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。rcuuRidtdiL（4）列写中间变量i与输出变量uc的关系式:dtduCic（5）将上式代入原始方程，消去中间变量得RCur(t)uc(t)L（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。（3）由KVL写原始方程：i(t)（6）整理成标准形，令T1=L/R，T2=RC，则方程化为rcccuudtduTdtudTT222212.2.4线性微分方程的一般特征观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：cadtdcadtcdadtcdannnnnn11110rbdtdrbdtrdbdtrdbmmmmmm11110rcccuudtduRCdtudLC22式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：（1）方程的系数为实常数，由系统自身参数决定；（2）左端的阶次比右端的高,n=m。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件；（3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。cadtdcadtcdadtcdannnnnn11110rbdtdrbdtrdbdtrdbmmmmmm1111022()dydymfkyFtdtdt221rdqdqLRqudtdtC相似系统的定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。例2-1例2-2令uc=q/CrcccuudtduRCdtudLC22模拟技术：当分析一个机械系统或不易进行试验的系统时，可以建造一个与它相似的电模拟系统，来代替对它的研究。直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的机电转换装置。在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压ua在电枢回路产生电枢电流ia，再由电枢电流ia与激磁磁通相互作用产生电磁转矩MD，从而使电枢旋转，拖动负载运动。Ra和La分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势Ea，其大小与2.2.5电枢控制的直流电动机MRauaLaiaif=常数Ea激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua相反。下面推导其微分方程式。（1）取电枢电压ua为控制输入，负载转矩ML为扰动输入，电动机角速度为输出量；（2）忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变if时，激磁磁通视为不变，则将变量关系看作线性关系；（3）列写原始方程式电枢回路方程：aaaaaauEiRdtdiLuaMRaLaiaif=常数Ea电动机轴上机械运动方程：LDMMdtdJJ—负载折合到电动机轴上的转动惯量;MD—电枢电流产生的电磁转矩;ML—合到电动机轴上的总负载转矩。（4）列写辅助方程Ea=keke—电势系数，由电动机结构参数确定。MD=kmiakm—转矩系数，由电动机结构参数确定。（5）消去中间变量，得LmmmLmDaMkdtdkJkMdtdJkMi1aaaaaauEiRdtdiLLmmmLmDaMkdtdwkJkMdtdwJkMi1dtdMkkLMkkRukdtdkkJRdtdkkJLLmeaLmeaaemeamea122dtdMkkLMkkRukdtdkkJRdtdkkJLLmeaLmeaaemeamea122meamkkJRT令机电时间常数Tm:令电磁时间常数Ta:aaaRLT1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：LmaemMJTukdtdT10aT2-22一阶系统dtdMJTTMJTukdtdTdtdTTLmaLmaemma122二阶系统（2-21）2)对微型电机，转动惯量J很小，且Ra、La都可忽略eaaekuuk1测速发电机3)随动系统中，取θ为输出LmaemMJTukdtddtdTdtd1224)在实际使用中，转速常用n（r/min）表示,设ML=0aemmaukndtdnTdtndTT'2213022230602'eekknn，令代入0meamkkJRT0aaaRLTdtdMJTTMJTukdtdTdtdTTLmaLmaemma122LmaemMJTukdtdT1一.复习拉氏变换及其性质1.定义记X(s)=L[x(t)]2.进行拉氏变换的条件1)t0，x(t)=0；当t0，x(t)是分段连续；2)当t充分大后满足不等式x(t)Mect，M，c是常数。3.性质和定理1)线性性质L[ax1(t)+bx2(t)]=aX1(s)+bX2(s)0)()(dtetxsXst2-4线性系统的传递函数)0()()(xssXdttdxL2)微分定理)()(ssXdttdxL若,则0)0()0(xx)()(222sXsdttxdL)()(sXsdttxdLnnn)0()0()()(222xsxsXsdttxdLsXsdttxL1)0(1)0(1)(1)()2()1(22xsxssXsdttxL若x1(0)=x2(0)=…=0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，3)积分定律)0(1)(1)()1(xssXsdttxLX（-1）(0)是∫x(t)dt在t=0的值。同理sXsdttxL21sXsdttxLnn15)初值定理如果x(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，并且4)终值定理若x(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，limx(t)存在，并且sX(s)除原点为单极点外，在jω轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数x(t)的终值为：)(lim)(lim0ssXtxst)(lim)0(ssXxs)(limssXs存在，则6)延迟定理L[x(t)1(t)]=esX(s)L[eatx(t)]=X(s+a)7)时标变换)(asaXatxL8)卷积定理tdxtxLsXsX02121)()()()(4.举例例2-3求单位阶跃函数x(t)=1(t)的拉氏变换。解：例2-4求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。解：020011)()(sdtesestdttetxLsXststst2)1(1)0(11)(11)(1)(sstLsdttLtLsXsesdtetxLsXstst11)()(00例2-5求正弦函数x(t)=sinωt的拉氏变换。解：jeettjtj2sin02dtejeesXsttjtj221121sjsjsj以上几个函数是比较常用的，还有一些常用函数的拉氏变换可查表求得。1)]([][cos22tLsstL例2-6求函数x(t)的拉氏变换。00,000)(tttttAtxtx(t)0At0tx1(t)0Atx2(t)0t0A+)1()(00ststesAesAsAsX解：x(t)=x1(t)+x2(t)=A1(t)A1(tt0)asesadteesXtsastat11)(0)(0例2-7求eat的拉氏变换。解:asetLsXat1)(1)(例2-8求e0.2t的拉氏变换。解：15551152.0sseLeLtt，求x(0)，x()。解：例2-9若0lim)(lim)(00assssXxss二.复习拉氏反变换1.定义由象函数X(s)求原函数x(t)0)()(21)()(1tdtesXjsXLtxjjst2.求拉氏反变换的方法①根据定义，用留数定理计算上式的积分值②查表法astxL1)(1lim)(lim)0(assssXxss③部分分式法一般，象函数X(s)是复变量s的有理代数公式，即nnnnmmmmasasasbsbsbsbsDsNsX1111110)()()()())(()(211110nmmmmpspspsbsbsbsbsX通常mn，a1,…,an；b0,…,bm均为实数。首先将X(s)的分母因式分解，则有式中p1,…,pn是D(s)=0的根，称为X(s)的极点。分两种情况讨论：（1）D(s)=0无重根。niiinnpscpscpscpscsX12