自动控制原理-胡寿松-第三章ppt

第三章线性系统的时域分析法3.1线性系统时间响应的性能指标3.2一阶系统的时域响应3.3二阶系统的时域响应3.4高阶系统的时域响应3.5稳定性分析3.6稳态误差计算分析和设计控制系统的首要工作是确定系统的数模，一旦获得系统的数学模型，就可以采用几种不同的方法去分析系统的性能。线性系统：时域分析法，根轨迹法，频率法非线性系统：多输入多输出系统：描述函数法，相平面法采样系统：Z变换法状态空间法§3-1线性系统时间响应的性能指标s11(t)LR(s)1(t)1A0t00tAr(t)1.记为称单位阶跃函数，令阶跃函数（位置函数）3.1.1典型输入信号动态性能，静态性能。动态性能需要通过其对输入信号的响应过程来评价。因此在分析和设计控制系统时，需要一个对系统的性能进行比较的基准---典型输入信号。条件：1能反映实际输入；2在形式上尽可能简单，便于分析；3使系统运行在最不利的工作状态。tf(t)01考查系统对恒值信号的跟踪能力A=1，称单位斜坡函数,记为t·1(t)000)(ttAttr21)](1[sttL2.斜坡函数（等速度函数）tf(t)0考查系统对匀速信号的跟踪能力3.抛物线函数（等加速度函数）00021)(2ttAttr)(1212tt321121)(sttLsRA=1，称单位抛物线函数,记为tf(t)0考查系统的机动跟踪能力4.脉冲函数1)()(tLsR000ttt并有1dtt及t(t)0考查系统在脉冲扰动下的恢复情况各函数间关系：tttttt121112求导积分求导积分求导积分tAtrsin22sin)(sAtALsR（5）正弦函数二.阶跃响应的时域性能指标c(t)=ct(t)+css(t)=暂态响应+稳态响应1.暂态性能指标图3－2(1)延迟时间td：c(t)从0到0.5c(∞)的时间。(2)上升时间tr：c(t)第一次达到c(∞)的时间。无超调时,c(t)从0.1c(∞)到0.9c(∞)的时间。(3)峰值时间tp：c(t)到达第一个峰值的时间(4)调节时间ts：c(t)衰减到与稳态值之差不超过±2%或±5%所需的时间。通常该偏差范围称作误差带,用符号△表示，即△=2%或△=5%。(5)超调量s%：c(t)最大峰值偏离稳态值的部分，常用百分数表示，描述的系统的平稳性。%)()()(%100cctcMpp2.稳态性能指标稳态误差ess：稳定系统误差的终值。即)(limteetss最后一节介绍。3.2一阶系统的时域分析凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。T＝RC，时间常数。其典型传递函数及结构图为：)()()(trtcdttdcT11)()()(TssRsCsRCr(t)c(t)1Ts﹣+R(s)C(s)1Ts+1R(s)C(s)tc(t)０T2T3T4T当输入信号r(t)=1(t)时，系统的响应c(t)称作其单位阶跃响应。01tec(t)TtTsssTssRssC111111)()()(3.2.1单位阶跃响应响应曲线在[0，）的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响应称为非周期响应。无振荡0.6320.950.9820.8651.0一阶系统的瞬态响应指标调整时间ts定义：︱c(ts)1︱=(取5%或2%)Ttse＝%)2(4%)5(3TtTtss一阶系统响应具备两个重要的特点：①可以用时间常数T去度量系统输出量的数值。②响应曲线的初始斜率等于1/T。０T2T3T4Ttc(t)0.6320.950.9820.8651.0T反映了系统的惯性。T越小惯性越小，响应快！T越大，惯性越大，响应慢。01tec(t)Tt3.2.2单位斜坡响应[r(t)=t]TsTsTssTssC1111122)()0()(/tTeTttcTttc(t)0c(t)=t﹣T+Te﹣t/T稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上滞后了一个时间常数T的斜坡函数。TT稳态分量（跟踪项+常值）Ttc)(表明过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位置上仍有误差，一般叫做跟踪误差。比较阶跃响应曲线和斜坡响应曲线：在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，最终趋于0，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也最大；无差跟踪在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，最终趋于常值T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等于0。有差跟踪。0tc(t)1.0tc(t)0TT3.2.3单位脉冲响应[R(s)=1]11)(TssC它恰是系统的闭环传函，这时输出称为脉冲（冲激）响应函数，以h(t)标志。TteTtCth1)()(脉冲求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。)()(tCdtdtC斜坡阶跃　)()(tCdtdtC阶跃脉冲)()(trdtdtr斜坡阶跃)()(trdtdtr阶跃脉冲对应T2T3Tth(t)01/T0.368/T0.135/T0.05/T线性定常系统的重要性质)()()(sRsGsCB)()()(])([)()(1ssCssRsGdttdrLsGsCBBdttdctc)()(12.在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分，积分常数由零初始条件决定。)(1)()(])([)()(2sCsssRsGdttrLsGsCBBdttyty)()(21.当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系统的输出则为原来输出的导数。3.3.1二阶系统的数学模型标准化二阶系统的结构图为：闭环传递函数为222222)2(1)2()(nnnnnnnsssssss二阶系统有两个结构参数ξ(阻尼比)和n(无阻尼振荡频率)。二阶系统的性能分析和描述，都是用这两个参数表示的。3.3二阶系统的时域分析s(s+2ξn)R(s)C(s)n2﹣+微分方程式为：对于不同的二阶系统，阻尼比和无阻尼振荡频率的含义是不同的。)()()()(22trtcdttdcRCdttcdLC222222121)()()(nnnssTssTsRsCsΦ零初条件LCTLCR2Tn/1例如:RLC电路RCr(t)c(t)Ljs03.3.2二阶系统的闭环极点二阶系统的闭环特征方程，即s2+2ξns+n2=0其两个特征根为：122,1nns上述二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼比ξ的不同取值，特征根有不同类型的值，或者说在s平面上有不同的分布规律。分述如下：s1s2(1)ξ1时，特征根为一对不等值的负实根，位于s平面的负实轴上，使得系统的响应表现为过阻尼的。(3)0ξ1时，特征根为一对具有负实部的共轭复根，位于s平面的左半平面上，使得系统的响应表现为欠阻尼的。(2)ξ=1时，特征根为一对等值的负实根，位于s平面的负实轴上，使得系统的响应表现为临界阻尼的。js0s1=s2=nns1s2jdξnjs0122,1nnsjs0(4)ξ=0时，特征根为一对幅值相等的虚根，位于s平面的虚轴上，使得系统的响应表现为无阻尼的等幅振荡过程。jnjs0(5)ξ0时，特征根位于s平面的右半平面，使得系统的响应表现为幅值随时间增加而发散。122,1nnss1s2js0s1s2js0s1=s2ns1s2jdξnjs0js0jn阻尼比取不同值时，二阶系统根的分布ξ1ξ=10ξ1ξ=03.3.3单位阶跃响应2222)(nnnsss由式，其输出的拉氏变换为ssssRssCnnn12)()()(222))(()(212ssssssCn式中s1，s2是系统的两个闭环特征根。对上式两端取拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃响应表达式。阻尼比在不同的范围内取值时，二阶系统的特征根在s平面上的位置不同，二阶系统的时间响应对应有不同的运动规律。下面分别加以讨论。（1）欠阻尼情况0ξ1arccosdnnnjjs22,11sjsjssCdndnn12))(()()sin(cos)(ttetcddtn211jsns1s2jdξn0ssdnn1222)(22221dnndnnssss)()()(0)sin(1112ttedtn欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两部分组成：稳态分量为1，表明系统在1(t)作用下不存在稳态位置误差；瞬态响应是阻尼正弦项，其振荡频率为阻尼振荡频率ωd，而其幅值则按指数曲线衰减，两者均由参数ξ和n决定。(2)无阻尼情况ξ=0c(t)t01c(t)t0)sin()(tetcdtn2111tttetcdddtncos)sin(cos)(1112衰减振荡等幅振荡（3）临界阻尼情况ξ=1s1,2=n此时响应是稳态值为1的非周期上升过程，其变化率t=0，变化率为0；t0变化率为正，c(t)单调上升；t→∞，变化率趋于0。整个过程不出现振荡，无超调，稳态误差＝0。)0()(11)(ttωetcntnsssCnn122)()(tc(t)01nnnsss112)(（4）过阻尼情况ξ1引入等效时间常数122,1nns响应特性包含两个单调衰减的指数项，且它们的代数和不会超过1，因而响应是非振荡的。调节速度慢。（不同于一阶系统）1/1/1)(21/12/21TTeTTetcTtTt)1(121nT)1(122nTsTsTssCn111212)/)(/()()/)(/()/)(/(2211121111111TsTTTsTTs0tc(t)1.0ts（5）不稳定系统ξ0总结：1）ξ0时，响应发散，系统不稳定；2）ξ＝1时，响应与一阶系统相似，无超调，但调节速度慢；3）ξ＝0时，无过渡过程，直接进入稳态，响应等幅振荡；4）0ξ1时，响应有超调，但上升速度快，调节时间短，合理ξ选择可使既快又平稳，工程上把ξ＝0.707的二阶系统称为二阶最优系统；Mp3.3.4二阶系统的动态性能指标1.欠阻尼用tr,tp,Mp,ts四个性能指标来衡量瞬态响应的好坏。c(t)t010.50.05或0.02trtptstddnrt21arccos(1)上升时间tr：从零上升至第一次到达稳态值所需的时间，是系统响应速度的一种度量。tr越小，响应越快。(2)峰值时间tp：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间。1)sin(111)(2rnttdtrtetc0)sin(rttdt0)(pttdttdc1)(kktrdktttepdpdpdtnn0012sinsindnpt210)cos(1)sin(122pdtdpdtntetepnpn(3)超调量Mp：响应曲线偏离阶跃曲线最大值，用百分比表示。%100)()()(cctcMpp%100)sin(112pdttepn%%10021eMtpp代入Mp只是ξ的函数，其大小与自然频率ωn无关。ξMp(4)调节