第6章多元函数微分学4-10(方向导数-梯度)

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学A6.1.6方向导数6.1.7梯度6.1多元函数微分的基本概念第6章多元函数微分学6.1.7梯度6.1.6方向导数方向导数梯度小结方向导数定义引入方向导数存在定理方向导数定义方向导数的计算习例1-5定义方向导数与梯度的关系梯度的几何意义梯度的基本运算公式习例6-76.1多元函数微分的基本概念一、方向导数函数的导数就是函数的变化率.比如,y=f(x),xyxxfxxfxfxx00000lim)()(lim)(如图所示..,,平均变化率即就是平均改变量是函数改变量其中xyyxoyx0x0+xx0+xyx0x0y=f(x)1.方向导数定义引入xoyx0x0+xx0+xyx0x0y=f(x)xxfxxfxfx)()(lim)(0000表示在x0处沿x轴正方向的变化率.xxfxxfxfx)()(lim)(0000表示在x0处沿x轴负方向的变化率.又比如,z=f(x,y),偏导数xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000分别表示函数在点(x0,y0)沿x轴方向,沿y轴方向的变化率.如图xoyzx0(x0,y0)y),(),(0000yxfyyxfzy),(0yxfz),(00yyxyyxfyyxfyzyyy),(),(limlim,000000特别表示在(x0,y0)处沿y轴正方向的变化率.表示在(x0,y0)处沿y轴负方向的变化率.yyxfyyxfyzyyy),(),(limlim,000000而但在许多实际问题中,常需知道f(X)在X0沿任何方向的变化率.比如,设f(X)表示某物体内部点X处的温度.那么,这个物体的热传导就依赖于温度沿各方向下降的速度.因此有必要引进f(X)在X0沿一给定方向的方向导数.把偏导数概念略加推广即可得到方向导数的概念.yxzoz=f(x,y)X0M0即f‘x(x0,y0)表示y=y0与z=f(x,y)的交线在M0处的切线对x的斜率.T11:z=f(x,y0)1y0yxzoz=f(x,y)M0X022:z=f(x0,y)即f'y(x0,y0)表示x=x0与z=f(x,y)的交线在M0处的切线对y的斜率.x0T2如图xoyzM0lX0=(x0,y0)X=(x0+x,y0+y)MN设z=f(X)=f(x,y)在点X0=(x0,y0)的某邻域U(x0)内有定义.以X0为端点引射线l,其单位方向向量为e=(cos,cos),设X=(x0+x,y0+y)是l上另一点.xoyzM0lX0=(x0,y0)X=(x0+x,y0+y)MN2.方向导数定义定义若当X沿l趋于X0时,对应的函数改变量与线段X0X的长||X0X||的比值.||||)()(00的极限存在XXXfXfX=(x0+x,y0+y)xoyzM0lX0=(x0,y0)MN则称它为z=f(X)=f(x,y)在点X0=(x0,y0)沿l的方向导数..),(,)(000lyxflXf记作.),(,)(000eyxfeXf或xoyzM0lX0=(x0,y0)MNX=(x0+x,y0+y)lyxf),(00即.22yx其中||||)()(lim000XXXfXfXX沿l,),(),(lim2200000yxyxfyyxxf沿l1.定义中要求点X只取在l的正向上,且X沿l趋向于X0.||||)()(00XXXfXf的分母大于0.如图另外比值xoyX0=(x0,y0)lX=(x0+x,y0+y)yx注2.若z=f(X)=f(x,y)在X0=(x0,y0)处偏导存在.则在X0处沿x轴正向的方向导数,),0,0,(xy此时lyxf),(0022000000),(),(limxyxfyxxf||),(),(lim00000||xyxfyxxfxxyxfyxxfx),(),(lim00000),(00yxfx在X0处沿x轴负方向的方向导数,),0,0,(xy此时lyxf),(00200000),(),(limxyxfyxxf||),(),(lim00000||xyxfyxxfxxyxfyxxfx),(),(lim00000),(00yxfx同样可得沿y轴正向的方向导数为f'y(x0,y0),而沿y轴负方向的方向导数为–f'y(x0,y0).3.定义中的极限表示式可用另一形式给出.由于l的单位方向向量为e=(cos,cos),从而l的参数式方程为x=x0+tcosy=y0+tcost0或(x,y)=(x0,y0)+t(cos,cos),而XX0就是t0+.tteXXXX||||||||||||00且即X=X0+te从而lXf)(0tXfteXft)()(lim00这正是教材中给出的定义式.||||)()(lim000XXXfXfXX沿l若z=f(X)=f(x,y)在点X0=(x0,y0)可微,则z=f(X)在X0沿任一方向e=(cos,cos)的方向导数存在.e为单位向量.且cos)(cos)()(000yXfxXfeXf)cos,(cos)(,)(00yXfxXf=Jf(X0)·e.(最后两式为数量积)定理3.方向导数的存在定理证:如图xoyX0=(x0,y0)eyxlX0=(x0+x,y0+y)在射线l上取点X=(x0+x,y0+y)其中,X=(x,y)因向量X=X–X0=X0X//e,故X=te,(t0),X=X0+te,||X0X||=||X||=t=X0+X由方向导数定义||||)()(lim)(0000XXXfXfeXfXXtXfteXft)()(lim000看f(X0+te)–f(X0).沿l因f(X)在X0可微,知z=f(X0+X)–f(X0)=f(x0+x,y0+y)–f(x0,y0))(022yxybxa||)(||0)()(00XyyXfxxXf=Jf(X0)·X+0(||X||)上式对任何x,y都成立.特别,当X=X0+X在射线l上时,当然成立.即,当X0+X=X0+te时,有f(X0+te)–f(X0)=Jf(X0)·(te)+0(||te||)=t[(Jf(X0)·e]+0(t)除以t0,并令t0+,有即z=f(X0+X)–f(X0)=Jf(X0)·X+0(||X||)eXf)(0tXfteXft)()(lim000tteXJft)(0)(lim00=Jf(X0)·ecos)(cos)(00yXfxXfxflf特别:•当l与x轴同向有时,2,0•当l与x轴反向有时,2,xflf即,若u=f(x,y,z)在点X0=(x0,y0,z0)可微,则u在该点处沿任何方向e=(cos,cos,cos)的方向导数存在eXf)(0=Jf(X0)·ecos)(cos)(cos)(000zXfyXfxXf且公式可推广到三元函数中去.4.推广5.方向导数的计算习例1)2,2()(1222222222byaxbabyaxz处沿曲线在点求例在这点的内法线方向的方向导数..)32,2()2,1()2,1(122的方向的方向导数到处沿从在点求例yxz,,),()0,0(3的转角为轴到的向径为到设由例rxryx.||,,22yxrrlrlx其中求的转角为轴到射线例4设是曲面n在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,方向的方向导数.在点P处沿求函数n解,2|2)2,1(1xxxz4|2)2,1(2yyyz}3,1{l方向,21311cos23313cos.321cos)2,1(cos)2,1()2,1(yxzzlz.)32,2()2,1()2,1(122的方向的方向导数到处沿从在点求例yxz在这点的内法线方向的方向导数.解1如图所示yoxyxabybyax222222tan1的切线倾角满足)2(tan)2,2(abba处在1)2,2()(1222222222byaxbabyaxz处沿曲线在点求例23)](2[又,sincos22bab22cossinbaa,22axxz而22byyz,2)2,2(axzbabyzba2)2,2(.)(21sincos22)2,2(baabyzxzlfba解2}2,2{1222222byaxbyax的法向量为曲线}2,2{)2,2(baba处法向量为在点}1,1{}1,1{baban从而内法向量可取为,)1()1(1cos2222babbaa22cosbaa.)(21coscos22)2,2(baabyzxzlfba解如图所示O(0,0)(x,y)lxrcos2222rxyxxxrsinryyr)cos(sinsincoscoslr.0,2;1,lrlr时当时且当,,),()0,0(3的转角为轴到的向径为到设由例rxryx.||,,22yxrrlrlx其中求的转角为轴到射线例4设是曲面n在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解方向余弦为,142cos,143cos141cos而PxuPnu同理得)1,3,2(2方向的方向导数.Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866在点P处沿求函数nn二、梯度方向导数公式coscoscoszfyfxflf令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值方向导数取最大值：zfyfxfG,,)cos,cos,(cos0l,0方向一致时与当Gl:GGlfmax1.定义定义设函数),(yxfz在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP),(，都可定出一个向量jyfixf，这向量称为函数),(yxfz在点),(yxP的梯度，记为),(yxgradfjyfixf.则有对于),,,(zyxfu.),,(kzfjyfixfzyxgradf2.方向导数与梯度的关系sincosyfxflf}sin,{cos},{yfxfeyxgradf),(],),,(cos[|),(|eyxgradfyxgradf(1)方向导数为梯度在方向l上的投影;(2)沿梯度方向的方向导数最大,且等于;),(yxgradf;),()3(22yfxfyxgradf.tan,)4(xyffx则轴到梯度的转角为——梯度方向3.梯度的几何意义函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),面上的投在曲线xoyCzyxfz),(CyxfL),(:*影称为函数f的等值线.,,不同时为零设y