空间向量与立体几何单元测试1

空间向量与立体几何(A)班级姓名学号成绩一、选择题:1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为czbyaxp．其中正确命题的个数为A．0B．1C．2D．32．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量1DA、1DC、11CA是A．有相同起点的向量B．等长向量C．共面向量D．不共面向量3．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ等于A．627B．637C．647D．6574．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若cCCbCBaCA1,,，则1ABA．a+b－cB．a－b+cC．－a+b+cD．－a+b－c5．已知a+b+c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝19，则向量a与b之间的夹角ba,为A．30°B．45°C．60°D．以上都不对6．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为A．2B．3C．4D．57．已知的数量积等于与则bakjibkjia35,2,23A．－15B．－5C．－3D．－18．已知(1,2,3)OA，(2,1,2)OB，(1,1,2)OP，点Q在直线OP上运动，则当QAQB取得最小值时，点Q的坐标为A．131(,,)243B．123(,,)234C．448(,,)333D．447(,,)333二、填空题：9．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n=．10．已知向量)1,5,3(a，)3,2,2(b，)3,1,4(c，则向量cba432的坐标为.11．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以｛AB，AC，AD｝为基底，则GE＝．12．设|m|＝1，|n|＝2，2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则a,b＝．13.在空间直角坐标系Oxyz中,点P(2,3,4)在平面xOy内的射影的坐标为;点P(2,3,4)关于平面xOy的对称点的坐标为;14.已知空间四边形OABC,点M,N分别是边OA,BC的中点,且OA=a,OB=b,OC=c,用,,abc表示MN=.三、解答题：15．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．（1）写出A、B1、E、D1的坐标；（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．16.已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：⑴线段AB的中点坐标和长度；⑵到A、B两点距离相等的点),,(zyxP的坐标x、y、z满足的条件．17.用向量法证明：如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．已知：直线OA⊥平面α，直线BD⊥平面α，O、B为垂足．求证：OA//BD．18.（13分））已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)⑴求以向量ACAB,为一组邻边的平行四边形的面积S；⑵若向量a分别与向量ACAB,垂直，且|a|＝3，求向量a的坐标。19．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：EF⊥CD；（3）若PDA＝45，求EF与平面ABCD所成的角的大小．xyzABCDPFE20．如图正方体ABCD-1111DCBA中，E、F、G分别是BB1、AB、BC的中点．（1）证明：FD1⊥EG；（2）证明：FD1⊥平面AEG；（3）求AEcos，BD1参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678答案ACDDCBAC二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）9．2310．(16,0,19)11．ADACAB433112112．0°13.(2,3,0);(2,3,-4)14.1()2bca三、解答题（本大题共6题，共80分）15．.(13分)解：(1)A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)(2)∵→AB1＝(0,-2,2)，→ED1＝(0,1,2)∴|→AB1|＝22，|→ED1|＝5，→AB1·→ED1＝0－2＋4＝2,∴cos→AB1，→ED1＝→AB1·→ED1|→AB1|·|→ED1|＝222×5＝1010．∴AB1与ED1所成的角的余弦值为1010．16..(13分)解：⑴设),,(zyxM是线段AB的中点，则)(21OBOAOM＝21[(3,3,1)＋(1，0，5)]＝(2,23,3)．∴线段AB的中点坐标是(2,23,3)．29)15()30()31(222BAd、．⑵点),,(zyxP到A、B两点距离相等，则222)1()3()3(zyx＝222)5()0()1(zyx．化简，得07864zyx．即到A、B两点距离相等的点),,(zyxP的坐标x、y、z满足的条件是07864zyx．17..(13分)证明：以点O为原点，以射线OA为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，i,j,k为沿x轴，y轴，z轴的坐标向量，且设BD＝),,(zyx．∵BD⊥α，∴BD⊥i，BD⊥j，∴BD·i＝),,(zyx·(1,0,0)＝x＝0，BD·j＝),,(zyx·(0,1,0)＝y＝0,∴BD＝(0,0,z)．∴BD＝zk．即BD//k．由已知O、B为两个不同的点，∴OA//BD．18..(13分)解：⑴21||||cos),2,3,1(),3,1,2(ACABACABBACACAB∴∠BAC＝60°，3760sin||||ACABS⑵设a＝(x,y,z)，则,032zyxABa33||,023222zyxazyxACa解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴a＝(1,1,1),a＝(－1，－1，－1).19．(14分)证：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a，BC＝2b，PA＝2c，则：A(0,0,0)，B(2a,0,0)，C(2a,2b,0)，D(0,2b,0)，P(0,0,2c)∵E为AB的中点，F为PC的中点∴E(a,0,0)，F(a,b,c)(1)∵→EF＝(0,b,c)，→AP＝(0,0,2c)，→AD＝(0,2b,0)∴→EF＝12(→AP＋→AD)∴→EF与→AP、→AD共面又∵E平面PAD∴EF∥平面PAD．(2)∵→CD＝(-2a,0,0)∴→CD·→EF＝(-2a,0,0)·(0,b,c)＝0∴CD⊥EF．(3)若PDA＝45，则有2b＝2c，即b＝c，∴→EF＝(0,b,b)，→AP＝(0,0,2b)∴cos→EF，→AP＝2b22b·2b＝22∴→EF，→AP＝45∵→AP⊥平面AC，∴→AP是平面AC的法向量∴EF与平面AC所成的角为：90－→EF，→AP＝45．20．（14分）解：以D为原点，DA、DC、1DA所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体1AC棱长为a，则D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），1D（0，0，a），E（a，a，2a），F（a，2a，0），G（2a，a，0）．（1）aFD(1，2a，-a），2(aEG，0，)2a，∵0)2)((02)2(1aaaaaEGFD，∴EGFD1．（2）0(AE，a，2a），∴02201aaaaaAEFD．∴AEFD1∵EAEEG，∴FD1平面AEG．（3）由0(AE，a，2a），BD1＝（a，a，a）2211222221152cos,150()4aaAEDBAEDBAEDBaaaaa