1.13-等价-充分必要条件

1.13等价·充分必要条件说一说下列两个复合命题都是真的吗？⑴在没有电梯的楼房里，如果一个人上楼或下楼，那么他要走楼梯；⑵在没有电梯的楼房里，如果一个人走楼梯，那么他要上楼或下楼．在没有电梯的楼房里，一个人上楼或下楼与他走楼梯是等价的．下列两个复合命题都是真的．⑴如果a＝1或a＝－1，那么︱a︱＝1；⑵如果︱a︱＝1，那么a＝1或a＝－1．︱a︱＝1与a＝1或a＝－1是等价的．一般地，设命题p、q使得复合命题p→q与q→p都为真，则称p与q等价，也说p等价于q，记作pq．例如︱a︱＝1a＝1或a＝－1你能举出命题等价的实例吗？试一试认一认当p与q等价时，有p→q为真，且q→p为真．于是，q是p的充分条件，且q是p的必要条件．这样，q是p的充分必要条件（简称为充要条件）．此时，也可以说p的充分必要条件是q．还可以说p当且仅当q．这里，“p当q”的意思是“q是p的充分条件”；而“p仅当q”的意思是“q是p的必要条件”．显然，当pq时，也有qp．因此，如果p与q等价，那么p也是q的充要条件．告知如果p的充要条件是q，也就是pq，那么证明“p的充要条件是q”的方法是：分别去证pq（这是在证q是p的必要条件，即必要性），qp（这是在证q是p的充分条件，即充分性）．试一试证明：a＝b是（a－b）2＝0的充要条件．证：（必要性）a＝b（a－b）2＝02＝0；（充分性）（a－b）2＝0a－b＝0a＝b．因此，a＝b是（a－b）2＝0的充要条件．关注几个结论⑴ab＝0a＝0或b＝0；⑵a2＝0a＝0；⑶（a－b）2＝0a＝b；⑷a2＝b2a＝b或a＝－b．提高⑴命题p与q等价当且仅当p与q的真值相同．⑵等价具有传递性．试一试（x－1）（x－2）＝0的充要条件是什么？解：（x－1）（x－2）＝0（由上述的重要结论ab＝0a＝0或b＝0）x－1＝0或x－2＝0x＝1或x＝2．小结概念：等价、充要条件．方法：充要条件的证明；等价的传递性．课堂练习课本p42A组1、2