结构稳定理论(研究生)

(研究生教学用教案)湖南科技大学土木工程学院钟新谷2008年10月第一节概论一、研究结构稳定问题的意义结构稳定是结构安全与经济的主要问题与强度问题具有同等意义对于材料、杆系结构、薄壁结构更为重要现代高强材料的应用，结构稳定成为控制问题，特别是大跨度拱桥，桁架桥等结构可能发生整体和局部失稳，结构失稳是灾难性的二、事故举例19世纪后期,钢结构已被广泛应用，不断出现的事故,促使人们不断地进行试验和研究1875年俄罗斯克夫达桥1907年加拿大魁北克桥1925年前苏联莫兹尔桥1970年澳大利亚墨尔本附近的西门桥我国也有类似的事故三、事故的类型：压杆失稳（结构中局部杆件失稳，导致结构崩溃）局部失稳导致结构整体失稳整体失稳四、结构稳定问题研究历史1、18世纪。早在1744年，L.欧拉就在他的著作《曲线的变分法》中，用最小位能原理导出弹性直杆的临界荷载公式但当时人们还没有认识到欧拉公式的意义。到了19世纪后期,钢结构已被广泛应用，不断出现的事故,促使人们不断地进行试验和研究并提出了一些经验公式2、1889年F.恩盖塞给出塑性稳定的理论解。1891年G.H.布赖恩作简支矩形板单向均匀受压的稳定分析。普兰特尔和米歇尔几乎同时发表了梁的侧倾问题的研究成果3、Β.З.符拉索夫对薄壁杆件空间失稳问题的研究,T.von卡门对板壳结构非线性失稳问题的研究等4、中国学者钱学森在薄壳稳定理论方面，李国豪在弹性稳定理论及桥梁结构稳定理论方面也都作出了贡献。5、用有限元法对板、壳结构进行屈曲分析也已有了长足的进步。然而，关于结构物的屈曲及屈曲后的塑性破坏强度的理论分析包括着一系列复杂的问题6、残余应力、结构物的弹塑性化及大挠度非线性问题等7、60年代出现了一门称为突变理论的新学科，正在被用来描述渐变力产生突变效应的现象，其中也包括结构失稳现象。上述经典理论研究S.P.铁木辛柯（一译铁摩辛柯）等在1907～1934年间进行了全面的总结，所著《弹性稳定理论》成为结构稳定理论的经典著作。五、稳定问题的概念与分类1、稳定问题的概念不稳定平衡随遇平衡稳定平衡不稳定平衡随遇平衡稳定平衡1)稳定平衡：偏离平衡位置，总势能增加。2)不稳定平衡：偏离平衡位置，总势能减少。3)随遇平衡：偏离平衡位置，总势能不变。系统当外力作用时rTU外力的功）(rTW（外力势能）（变形势能）（体系的总势能）WU荷载。，利用此条件确定临界则原体系处于随遇平衡若,rTU衡。则原体系处于不稳定平若,rTU。则原体系处于稳定平衡若,rTU2、结构失稳的两种基本形式1）第一类失稳（分支点失稳）：结构变形产生了性质上的突变，带有突然性。Δl/2PPcrl(b)弯曲平衡状态P(a)直线平衡状态lP2POP1D（c）荷载—位移曲线（P—Δ曲线）ΔPcrD'CAB2）第二类失稳（极值点失稳）：虽不出现新的变形形式，但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许可值，结构不能正常工作。(a)偏心受压杆ΔPePPPOPe(b)荷载——位移曲线（P—Δ曲线）ΔPcrCAB还存在一类仅发生在扁平二杆桁架或扁平三铰拱和扁壳的失稳现象，当荷载、变形达到一定程度时，可能从凸形受压的结构翻转成凹形的受拉结构，这种急跳现象本质上也属极值点失稳（跳跃屈曲）。P发生在扁平拱,扁平桁架Pcr压变拉P翻转临界点稳定平衡稳定问题还可分为动力稳定与静力稳定。上述稳定性概念是指静力稳定。动力稳定性可按能量特征表述为：一个受外荷作用的体系，在正阻尼情况下，体系的位能随时间而衰减时，则该体系是动力稳定的；在负阻尼情况下，体系的位能随时间而增大，则体系是动力不稳定的。结构稳定理论主要是研究结构的静力失稳。3、结构稳定问题分析方法1）静力法基于体系出现变形性质不同的平衡分支，建立新平衡状态下的平衡微分方程，求出该微分方程的通解。然后，使它满足问题所给定的边界条件及相容条件，从而得到一个以某些积分常数为未知量的线性齐次方程组。其零解对应于原始平衡状态，非零解对应于新的平衡分支。故可令线性齐次方程组有非零解得稳定方程，并由此求出临界荷载。对于比较复杂的问题，其微分方程往往不易直接求解，因此常采用渐近法、差分法或其他数值方法。2）能量法基于最小位能原理求解。由最小位能原理可知,当体系的总位能п的一阶变分等于零,该体系处于平衡状态。因此，可采用δ22п＝0的条件确定体系的平衡。体系稳定性的能量标志是：体系的总位能最小时，即δ22п＞0时，该体系是稳定的；总位能为常数时，即δ22п＝0时，该体系处于随遇平衡；总位能最大时，即δ22п＜0时，体系是不稳定的。由此,可利用δ22п＝0的条件确定临界荷载，常用的方法有直接近似法、里兹法、伽辽金法及有限元法等。能量法特别适用于求各种复杂问题的近似解。6、主要研究几种结构的稳定问题1）杆（梁）件及组合构件的整体稳定问题单个杆件的弹性轴心受压稳定（不同支承条件，不同荷载形式）理想中心受压杆件的弹塑性屈曲（双模理论与折算模量理论）非理想中心受压杆件的稳定问题构件的整体稳定2）梁的侧倾（弯扭失稳）稳定问题（在弯矩作用下，或集中荷载作用下）3）板的稳定问题（受压、受剪）4）拱的稳定问题（平面内失稳定，平面外失稳）5）壳体的稳定问题（失稳的形态，屈曲后强度的利用）6）整体与局部的稳定问题7）钢结构焊接残余应力对稳定的影响8）疲劳失稳读书报告要求：提交纸质文档一份PPT文件并作报告题目：1）稳定问题的研究历史2）理想中心压杆问题的弹性屈曲3）稳定问题与强度问题的区别4）工字钢的弯扭失稳的研究第二节轴心受压杆（梁）件整体稳定问题一、单个杆件的弹性轴心受压稳定lFFFNNNNNcrNcrA稳定平衡状态B随遇平衡状态C临界状态1、平衡法求解下面推导临界力Ncr设M作用下引起的变形为y1，剪力作用下引起的变形为y2，总变形y=y1+y2。由材料力学知：NcrNcrlyy1y2NcrNcrM=Ncr·yxEIMdxyd212剪力V产生的轴线转角为：dxdMGAVGAdxdy2。与截面形状有关的系数量；材料弹性模量和剪变模、杆件截面积和惯性矩；、GEIA0122ykyGANEINkcrcr，则：令01yEINGANycrcr即：22222dxMdGAdxyd因为：2222221222dxMdGAEIMdxyddxyddxyd所以：2222dxydGANyEINdxydyNMcrcrcr，得：由于02yky对于常系数线形二阶齐次方程：其通解为：kxBkxAycossinkxAyByxsin000，从而：，得，引入边界条件：0sin0klAylx，得：，再引入边界条件：条件，舍去。不符合杆件微弯的前提解上式，得：0A22213210sinlkklnnnklkl即：，得：取），，（NcrNcrlyy1y2NcrNcrM=Ncr·yx2221lGANEINkcrcr因：222211crcrNEINlEIGAl故，临界力：222211crcrcrNEAEAGA临界应力：222222crcrEIEANlE通常剪切变形的影响较小，可忽略不计，即得欧拉临界力和临界应力：上述推导过程中，假定E为常量（材料满足虎克定律），所以σcr不应大于材料的比例极限fp，即：PppcrfEfE:22或长细比2、能量法（直刚性杆杆稳定）rTU依能量准则：)cos1()sin(212pllk即21642175312542753!!!cos!!!sin22122pl)l(kklpcr第14章kEIlcrpp3、能量法计算公式（单杆）lcrpexydxdedsEANdsGAkQdsEIMUlll020202212121)1(变形能：MyEI不计剪力、轴力影响，(A)ds)yEI(21Ul02lrdeppeT0)2(外力的功：lrBdxypTdxydxdxde0222)()(21)(212)cos1(2020(3)()()lcrlABEIydxpydx依能量准则，令式（）式（）：第14章4、用势能原理建立的能量准则（适用于多自由度体系）设弹性曲线为多参数曲线：niiixaxaxaaxy1332211)()()()(dx)a(EIpdx)a(EIdx)y(EIpdx)y(EITUWUiiiir222221212121总势能：依“势能驻值原理”：临界状态下真实的变形曲线应使体系的总势能为驻值。),,3,2,1(0niai第14章n),1,2,3,(i0)dxφφPφφ(EIan1jjijij得：第14章0SK这就是计算临界荷载的特征方程，其展开式是关于P的n次线性方程组，可求出n个根，由最小根可确定临界荷载。00021212222111211212222111211nnnnnnnnnnnnnaaaSSSSSSSSSKKKKKKKKK得：n),1,2,3,(i0)dxφφPφφ(EIan1jjijijxEIKjiijdxPSjiijd令：{0}[S]){a}([K]简写为：读书报告1、说明能量法与静力法的联系与区别2、如何用数值法求解稳定问题采用有限元法举例说明要求：提交电子文档和PPT报告二、理想中心受压杆件的弹塑性屈曲Ncr,rNcr,rlxydσ1dσ2σcr形心轴中和轴(1)双模量理论该理论认为，轴压构件在微弯的中性平衡时，截面平均应力(σcr)要叠加上弯曲应力，弯曲受压一侧应力增加遵循切线模量Et规律（分布图形为曲线），由于是微弯，故其数值较σcr小的多，可近似取直线。而弯曲受拉一侧应力发生退降,且应力退降遵循弹性规律。又因为EEt，且弯曲拉、压应力平衡，所以中和轴向受拉一侧移动。σεσcrfp0E1dεdσddEt历史上有两种理论来解决该问题，即：当σcr大于fp后σ-ε曲线为非线性,σcr难以确定。Ncr,rNcr,rlxy令：I1为弯曲受拉一侧截面（退降区）对中和轴的惯性矩；yNyIEEIt21解此微分方程，即得理想的轴心压杆微弯状态下的弹塑性临界力：2212,2212trcrrrrtEIEIEINllEEEIEII折算模量，dσ1dσ2σcr形心轴中和轴I2为弯曲受压一侧截面对中和轴的惯性矩；且忽略剪切变形的影响，由内、外弯矩平衡得：22,,22ttcrtcrtEIENl(2)切线模量理论Ncr,rNcr,rlxyσcr,t中和轴假定:A、达到临界力Ncr,t时杆件挺直;B、杆微弯时,轴心力增加△N，其产生的平均压应力与弯曲拉应力相等。所以应力、应变全截面增加，无退降区，切线模量Et通用于全截面。由于△N较Ncr,t小的多，近似取Ncr,t作为临界力。因此以Et替代弹性屈曲理论临界力公式中的E，即得该理论的临界力和临界应力：三、初始缺陷对压杆稳定的影响但试验结果却常位于蓝色虚线位置，即试验值小于理论值。这主要由于压杆初始缺陷的存在。如前所述，如果将钢材视为理想的弹塑性材料，则压杆的临界力与长细比的关系曲线（柱子曲线）应为：σεfy0fy=fp1.00ycr