高考总复习之二次函数

高考总复习之二次函数题目第二章函数二次函数高考要求1要掌握二次函数的图象和性质，有单调性，对称轴，顶点，二次函数的最值讨论方法，二次方程根的分布的讨论方法，特别是韦达定理的应用2能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值知识点归纳[来源:]二次函数是高中最重要的函数，它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系1二次函数的图象及性质:二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是2二次函数的解析式的三种形式：用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即，和（顶点式）3根分布问题:一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c(a0)(1)x1α,x2α,则;(2)x1α,x2α,则(3)αx1?,αx2?,则(4)x1α,x2?(α?),则(5）若f(x)=0在区间(α,?)内只有一个实根，则有4最值问题：二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[α,?]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴?b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴?b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a的符号对抛物线开口的影响1讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②2讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置5二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：①f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴无交点ax2+bx+c=0无实根ax2+bx+c0(0)的解集为或者是R;②f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴相切ax2+bx+c=0有两个相等的实根ax2+bx+c0(0)的解集为或者是R;③f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax2+bx+c=0有两个不等的实根ax2+bx+c0(0)的解集为或者是题型讲解例1函数是单调函数的充要条件是（）ABCD解：∵函数的对称轴，∴函数是单调函数，故选A例2已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式解：∵二次函数的对称轴为，可设所求函数为，又∵截轴上的弦长为，∴过点和，又过点，∴，，∴例3已知函数的最大值为，求的值[来源:学+科+网]分析：令，问题就转二次函数的区间最值问题解：令，，∴，对称轴为，（1）当，即时，，得或（舍去）（2）当，即时，函数在单调递增，由，得（3）当，即时，函数在单调递减，由，得（舍去）综上可得：的值为或例4已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围解法一：由题知关于的方程至少有一个非负实根，设根为则或，得解法二：由题知或，得解法三：当函数与非负轴没有交点时，则或，得或∴函数与非负轴至少有一个交点时的取值范围为例5设二次函数，已知不论α，β为何实数，恒有（1）求证：（2）求证：（3）若函数的最大值为8，求b，c的值解：（1）由产生b+c，只要消除差异，这可令[来源:Z#xx#k.Com][来源:]从而知[来源:]（2）由即，∴又因为（3）当由解得点评注意：且,这是用不等式证明等式的有效方法，很是值得重视例6设f(x)=ax2+bx+c(a＞b＞c),f(1)=0,g(x)=ax+b（1）求证：函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点；（2）设f(x)与g(x)的图象交点A、B在x轴上的射影为A1、B1，求｜A1B1｜的取值范围；证明（1）：∵f(x)=ax2+bx+c,f(1)=0∴f(1)=a+b+c=0又a＞b＞c∴3a＞a+b+c＞3c∴a＞0,c＜0由∴Δ=(b－a)2－4a(c－b)＝(b+a)2－4ac＞0故函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点；解（2）：设A、B的坐标分别为（x1,y1）、（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两根故x1+x2=－,x1x2=,由题意，｜A1B1｜=｜x1－x2｜===＝=[来源:]∵a＞b＞c,a+b+c=0∴a＞－(a+c)＞c∴－2＜＜－∴｜A1B1｜的取值范围是（，2）例7是否存在实数a,b,c使函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，的图像经过M(-1,0)，且满足条件对一切实数x，都有xf(x)解：因为图像经过M(-1,0)，所以a-b+c=0又因为xf(x)∴当x＝1时，1f(1)1，所以f(1)=1即a+b+c=1从而所以b=∴xax2+对一切实数x恒成立即的解集为R∵a=0或a=,∴所以a=c=,b=例8设f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称，而当（1）求f(x)的表达式（2）对于任意解：（1）设P（x,y）是f(x)图象上的任意点，则P（x,y）关于直线x=1的对称点为Q(2-x,y)必在g(x)图像上，且2≤2-x≤3即x∈[-1，0]∴x∈[-1，0]∵f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，∴f(0)=0,∴c=当（2）当时，∴例9设函数f(x)=|x－a|－ax，其中0a1为常数（1）解不等式f(x)0;（2）试推断函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，说明理由解：（1）由f(x)0得，|x－a|ax，即－axx－aax,∴不等式的解集是（2）∵∴内是增函数，内是减函数∴例10对于函数，若存在，使，则称是的一个不动点，已知函数，（1）当时，求函数的不动点；[来源:学|科|网Z|X|X|K]（2）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，若的图象上两点的横坐标是的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值解：（1），是的不动点，则，得或，函数的不动点为和[来源:]（2）∵函数恒有两个相异的不动点，∴恒有两个不等的实根，对恒成立，∴，得的取值范围为（3）由得，由题知，，设中点为，则的横坐标为，∴，∴，[来源:Z当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为学生练习1设x,y是关于m的方程m2?2am+a+6=0的两个实根，则(x?1)2+(y?1)2的最小值是（）(A)?1225(B)18(C)8(D)无最小值2函数f(x)=2x2?mx+3,当x?(??,?1]时是减函数，当x?[?1,+?)时是增函数，则f(2)=3方程x2+bx+c=0有两个不同正根的充要条件是；有一正根，一负根的充要条件是___；至少有一根为零的充要条件____4如果方程x2+2ax+a+1=0的两个根中，一个比2大，另一个比2小，则实数a的取值范围是5设方程x2?mx+1=0的两个根为α,?,且0α1,1?2,则实数m的取值范围是____6直线y=kx+1与双曲线x2?y2=1的左支相交，则k的取值范围是7已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集是(??,?3)?(2,+?),则关于x的不等式bx2+ax+c0的解集是8方程x2+(m?2)x+2m?1=0在(0,1)内有一根，则m?;或m=6?2)在(0,1)内至少有一根，则m?9线段AB的两个端点分别为A(3,0),B(0,3),若抛物线y=x2?2ax+a2+1与线段AB有两个不同交点，试求实数a的取值范围10已知f(x)=(m?2)x2?4mx+2m?6=0的图象与x轴的负半轴有交点，求实数m的取值范围11已知二次函数f(x),f(x+1)+f(x?1)=2x2?4x对任意实数x都成立，试求f(1?)的值12已知函数f(x)=mx2+(m?3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围13根据市场调查，某商品在最近40天内的价格与时间t满足关系：销售量g(t)与时间t满足关系g(t)=?t/3+43/3(0?t?40),t?N),求这种商品日销售量的最大值14已知函数f(x)=lg(x2?2mx+m+2)(1)若f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围；(2)若f(x)的值域为R，求实数m的取值范围15若二次函数f(x)=4x2?2(p?2)x?2p2?p+1在区间[?1,1]内至少存在一点c?使f(c)0,求实数p的取值范围16已知而二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=?bx,其中a,b,c满足abc,a+b+c=0,(a,b,c?R)(1)求证：两函数的图象相交于不同两点A，B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1之长的取值范围17设2sin2x+acosx-1≤3a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围18在平行四边形ABCD中，已知AB=a,BC=b(ab),∠A=60°,在AB,AD,CB,CD上分别取AE,AH,CF,CG都等于x(0≤x≤b),求x取何值时，四边形EFGH面积最大？最大值为多少？19已知函数f(x)=ax2+(2a?1)x?3(a≠0)在区间[?3/2,2]上的最大值为1，求实数a的值20已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α，β证明：(Ⅰ)如果│α│＜2，│β│＜2，那么2│a│＜4+b且│b│＜4；(Ⅱ)如果2│a│＜4+b且│b│＜4，那么│α│＜2，│β│＜221已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当?1≤x≤1时,│f(x)│≤1(Ⅰ)证明:│b│≤l;(Ⅱ)证明:当?1≤x≤1时,│g(x)│≤2;22已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(?1)=0,对于任意实数x，都有f(x)?x?0,并且x?(0,2)时，f(x)=(x+1)2/4,(1)求f(1);(2)求f(x)23若对任意实数x，sin2x+2kcosx?2k?20恒成立，求实数k的取值范围24线段AB的两个端点分别为A(3,0),B(0,3),若抛物线y=x2?2ax+a2+1与线段AB有两个不同交点，试求实数a的取值范围参考答案：1C2193b2?4c0,b0,c0，c0，c=04a?1[来源:Z。xx。k.Com]52m5/26??k?17(?3,2)(用韦达定理可得b=a,c=?6a,a0,代入不等式即可）81/2m?2/3，m?(1/2,6?2]有一根，分为四种情况讨论：(i)f(0)f(1)01/2m2/3;(ii)Δ=0,0(2?m)/21m=6?2;(iii)f(0)=0,则m=1/2,另一根为3/2不合条件;(iv)f(1)=0,m=2/3,另一根为1/3符合题意有两根，则m?(2/3,6?2)另法：可以观察二次函数y=x2?2x?1与y=?m(x+2)的图象得到结果9?a9/410(1)m=2时，交点为(?1/4,0),m≠2时，(i)一正一负，(m?2)(2m?6)0,∴2m3,(ii)两负，1?m2,(iii)一根为零，一根为负，无解，综合得1?m311f(x)=x2?2x?1,f(1?)=012若m=0，满足要求；若m≠0,①原点两侧各一个根，x1x2=/1m0,∴m0;②两根都在原点右侧，则Δ?0,x1+x20,x1x20,解得0m?1,综合可得：m?(??,1]13当0?t20时，日销售额S=(t/2+11)(?t/3+43/3)=?(t2?21t?22?43)/6故当t=10或11时，Smax=176,当20?t?40时，S=(t?41)(t?43)/3,故t=20时，Smax=161综上，日销售额的最大值是17614(1)?1m2；(2)m?2或m??1)15解1：依题意，有f(?1)0,f或(1)0,即2p2?p?10,或2p2+3p?90,∴?1/2p1或?3p3/2,∴?303/2解2：(补集法)令f(?1)?0,且f(1)?0,解得:p??3或p?3/2,符合条件的p?(?3,3/2)观察图象而得到16(1)联立方程，得ax2+2bx+c=0,Δ=4(a2+ac+c2),∵a+b+c=0,abc,∴a0,c0,∴Δ0,所以两函数的图象有两个不同交点；(2)设方程的两根为x1,x2,则|A1B1|2=Δ/a2=4[()2+],∵a+b+c=0,abc,∴a?(a+c)c,ao,∴c/a?(?2,?1/2),此时|A1B1|2?