高中数学二次函数知识点总结

高中数学安徽铜陵姚老师：138665007201二次函数知识点和常见题型一.二次函数的三种表示方法：（1）一般式cbxaxy2（2）顶点式nmxay2)(（3）两根式))((21xxxxay1若2fxxbxc，且10f，30f，求1f的值．变式1：若二次函数2fxaxbxc的图像的顶点坐标为2,1，与y轴的交点坐标为(0,11)，则A．1,4,11abcB．3,12,11abcC．3,6,11abcD．3,12,11abc变式2：若223,[,]fxxbxxbc的图像x=1对称，则c=_______．变式3：若二次函数2fxaxbxc的图像与x轴有两个不同的交点1,0Ax、2,0Bx且2212269xx，试问该二次函数的图像由231fxx的图像向上平移几个单位得到？二．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有如下性质：（1）顶点坐标24(,)24bacbaa；对称轴2bxa；（2）若a0，且△=b2-4ac≤0，那么f(x)≥0，2bxa时，2min4()4acbfxa；（3）若a0，且f(x)≥0，那么△≤0；（4）若a0，且存在x0∈(-∞，+∞)，使得f(x0)≤0，那么△≥0;若a0，有与性质2、3、4类似的性质2将函数2361fxxx配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．变式1：已知二次函数2fxaxbxc，如果12fxfx(其中12xx)，则122xxf（）A．2baB．baC．cD．244acba变式2：函数2fxxpxq对任意的x均有11fxfx，那么0f、1f、1f的大小关系是（）A．110fffB．011fffC．101fffD．101fffxyO高中数学安徽铜陵姚老师：138665007202变式3：已知函数2fxaxbxc的图像如右图所示，请至少写出三个与系数a、b、c有关的正确命题_________．三．二次函数的单调性：当0a，x∈(－∞，－b2a]时递减，x∈[－b2a，＋∞)时递增当0a，x∈(－∞，－b2a]时递增，x∈[－b2a，＋∞)时递减3.已知函数22fxxx，22[2,4]gxxxx：(1)求fx，gx的单调区间；(2)求fx，gx的最小值．变式1：已知函数242fxxax在区间,6内单调递减，则a的取值范围是()A．3aB．3aC．3aD．3a变式2：已知函数215fxxax在区间(12,1)上为增函数，那么2f的取值范围是_________．变式3：已知函数2fxxkx在[2,4]上是单调函数，求实数k的取值范围．四．二次函数在给定区间的最值设02acbxaxxf，则二次函数在闭区间nm,上的最大、最小值有如下的分布情况：abnm2nabm2即nmab,2nmab2nfxfmfxfminmaxabfxfmfnfxf2,maxminmaxmfxfnfxfminmax对于开口向下的情况，讨论类似．其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若nmab,2，则nfabfmfxf,2,maxmaxnfabfmfxf,2,minmin高中数学安徽铜陵姚老师：138665007203（2）若nmab,2，则nfmfxf,maxmax，nfmfxf,minmin另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小．4.已知函数22fxxx，22[2,4]gxxxx：(1)求fx，gx的单调区间；(2)求fx，gx的最小值．变式1：已知函数223fxxx在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是A．1,B．0,2C．1,2D．,2变式2：若函数234yx的最大值为M，最小值为m，则M+m的值等于________．变式3：已知函数224422fxxaxaa在区间[0,2]上的最小值为3，求a的值．变式4：求二次函数2()26fxxx在下列定义域上的值域：(1)定义域为03xZx；(2)定义域为2,1．变式5：函数2()2622fxxxx的值域是A．3220,2B．20,4C．920,2D．920,2变式6：函数y=cos2x+sinx的值域是__________．变式7：已知二次函数f(x)=ax2+bx（a、b为常数，且a≠0），满足条件f(1+x)=f(1－x)，且方程f(x)=x有等根．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n（mn），使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．五.奇偶性：b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数5.已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，1fxxx．画出函数fx的图像，并求出函数的解析式．变式1：若函数22111fxmxmx是偶函数，则在区间,0上fx是A．增函数B．减函数C．常数D．可能是增函数，也可能是常数变式2：若函数2312fxaxbxabaxa是偶函数，则点,ab的坐标是________．变式3：设a为实数，函数1||)(2axxxf，Rx．(I)讨论)(xf的奇偶性；(II)求)(xf的最小值．高中数学安徽铜陵姚老师：138665007204六．图像变换：已知2243,30()33,0165,16xxxfxxxxxx．(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值．变式1：指出函数223yxx的单调区间．变式2：已知函数)(|2|)(2Rxbaxxxf．给下列命题：①)(xf必是偶函数；②当)2()0(ff时，)(xf的图像必关于直线x=1对称；③若02ba，则)(xf在区间[a，＋∞)上是增函数；④)(xf有最大值||2ba．其中正确的序号是___③变式3：设函数,||)(cbxxxxf给出下列4个命题：①当c=0时，)(xfy是奇函数；②当b=0，c0时，方程0)(xf只有一个实根；③)(xfy的图象关于点（0，c）对称；④方程0)(xf至多有两个实根．上述命题中正确的序号为————．七.恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2acbxaxxf，（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a。类型2：设)0()(2acbxaxxf（1）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff（2）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或类型3：min)()(xfIxxf恒成立对一切；max)()(xfIxxf恒成立对一切。类型4：)()()()()()()(maxminIxxgxfxgxfIxxgxf的图象的上方或的图象在恒成立对一切高中数学安徽铜陵姚老师：138665007205当,,abc具有什么关系时，二次函数2fxaxbxc的函数值恒大于零？恒小于零？变式1.若不等式02)1()1(2xmxm的解集是R，求m的范围。变式2：已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)．(I)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(II)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．变式3：已知函数2()3fxxaxa，若2,2x时，有()2fx恒成立，求a的取值范围．变式4：若f(x)=x2+bx+c，不论、为何实数，恒有f(sin)≥0，f(2+cos)≤0．(I)求证：b+c=－1；(II)求证：c≥3；(III)若函数f(sin)的最大值为8，求b、c的值．八．根与系数关系一元二次方程02cbxax，用配方法将其变形为：22244)2(aacbabx；acb42来判断二次方程有几个解；abxx21，acxx21.；（韦达定理）。例8：若12,xx是方程2220090xx的两个根，试求下列各式的值：(1)2212xx；(2)1211xx；(3)12(5)(5)xx；(4)12||xx．变式1：二次函数baxy2与一次函数)(babaxy在同一个直角坐标系的图像为（）变式2：直线3mxy与抛物线xmxyCmmxxyC)12(:,45:222123,m23:323Cyxmxm中至少有一条相交，则m的取值范围是什么?变式3：对于函数f(x)，若存在x0(R，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点．如果函数f(x)=ax2+bx+1（a0）有两个相异的不动点x1、x2．(I)若x11x2，且f(x)的图象关于直线x=m对称，求证m12；(II)若|x1|2且|x1－x2|=2，求b的取值范围．D．C．xyOxyOOOxyxyA．B．221244,22bbacbbacxxaa高中数学安徽铜陵姚老师：138665007206二次函数答案1．解析式、待定系数法变式1：解：由题意可知22241411baacbac，解得31211abc，故选D．变式2：解：由题意可知212b，解得b=0，∴012c，解得c=2．变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为231fxxk，展开得2363fxxxk，∴121232,3kxxxx，∴2221212122629xxxxxx，即2326439k，解得43k．所以，该二次函数的图像是由231fxx的图像向上平移43单位得到的，它的解析式是24313fxx，即25363fxxx．2．图像特征变式1：解：根据题意可知1222xxba，∴122xxf244acba，故选D．变式2：解：∵11fxfx，∴抛物线2fxxpxq的对称轴是1x，∴12p即2p，∴22fxxxq，∴0fq、13fq、11fq，故有101fff，选C．变式3：解：观察函数图像可得：a0(开口方向)；②c=1(和y轴的交点)；③4210ab(和x轴的交点)；④10ab(10f)；⑤240ba(判别式)；⑥122ba