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按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1，2，3，4，……双数列：2，4，6，8，……我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。善于发现数列的规律是填数的关键。【例题1】在括号内填上合适的数。（1）3，6，9，12，（），（）（2）1，2，4，7，11，（），（）（3）2，6，18，54，（），（）【思路导航】在（1）列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：12+3=15、15+3=18。在（2）列数中，第2个数比第1个数增加1，第3个数比第2个数增加2，第4个数比第3个数增加3……故空格里面的两个数分别为：11+5=16，16+6=22。在（3）列数中，相邻的两个数的积都是3，即每一个数乘以3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：54×3=162、162×3=486。【练习1】在括号内填上合适的数。（1）2，4，6，8，10，（），（）（2）1，2，5，10，17，（），（）（3）2，8，32，128，（），（）（4）1，5，25，125，（），（）【例题2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。（1）15，2，12，2，9，2，（），（）（2）21，4，18，5，15，6，（），（）【思路导航】在（1）列数中，通过观察可以发现这是分为单数和双数两个不同的数列。其中双数列都为2，而单数列是前数比后数大3，根据这一规律，括号里应填的数为：9-3=6、2。在（2）列数中，通过观察可以发现这也是分为单数和双数两个不同的数列。其中单数列是前数比后数大3，双数列都是后数比前数大1，根据这一规律，括号里应填的数为：15-3=12、6+1=7。【练习2】按规律填数。（1）2，1，4，1，6，1，（），（）（2）3，2，9，2，27，2，（），（）（3）18，3，15，4，12，5，（），（）（4）1，15，3，13，5，11，（），（）（5）12，1，10，1，8，1，（），（）【例题3】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。1、2、510914712111691413？9437148428164【思路导航】经仔细观察、分析表格中的数可以发现：1、每一列下面的数与上面的数的差均为4，即9-5=4，14-10=4；11-7=4，16-12=4；13-9=4。依此规律，空格中应填的数为：14+4=18。2、左下角数与右上角数的商与上面数的乘积即为中间数。如8÷2×4=16；8÷4×7=14。依此规律，空格中应填的数为：4÷3×9=12。【练习3】找出排列规律，在空缺处填上适当的数。1、2、489276828737598121014121614把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最后会出现什么情况呢？一种是全部分完，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须比除数小，这就是有余数除法计算中特别要注意的。解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。在有余数的除法中，要记住：（1）余数必须小于除数；（2）被除数＝商×除数＋余数。【例题1】[]÷6＝8……[]，括号内被除数最大是几？最小是几？【思路导航】已知商为8、除数为6，则余数最大为5、最小为1，即可求出最大的被除数为6×8＋5＝53，最小的被除数为6×8＋1＝49答：被除数最大是53，最小是49。【练习1】(1)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[]÷8＝3……[](2)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[]÷4＝7……[](3)下题中要使除数最小，被除数应为________。[]÷[]＝12……4【例题2】算式[]÷[]＝8……［］中，被除数最小是几？【思路导航】题中只告诉我们商是8，要使被除数最小，那么只要除数和余数小就行。除数最小为2，余数最小为1，那么被除数则为8×2＋1＝17。【练习2】(1)下面算式中，被除数最小是几？①[]÷[]＝4……［］②[]÷[]＝7……［］③[]÷[]＝9……［］(2)下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？①[]÷[]＝3……［］②[]÷[]＝6……［］【例题3】算式28÷[]＝[]……4中，除数和商分别是______和______。【思路导航】根据“被除数＝商×除数＋余数”，可以得知“商×除数＝被除数－余数”，所以本题中商×除数＝28－4＝24。这两个数可能是1和24，2和12，3和8，4和6，又因为余数为4，则除数不得小于4，因此除数可以是24，12，8，6,商分别为1，2，3，4。答：除数和商分别是24，1；12，2；8，3；6，4。【练习3】（1）下面算式中，除数和商各是几？①22÷[]＝[]……4②65÷[]＝[]……2③37÷[]＝[]……7④48÷[]＝[]……6（2）149除以一个两位数，余数是5,请写出所有这样的两位数。【例题4】算式[]÷7＝[]……[]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？【思路导航】题目中告诉我们除数是7，商和余数相等，因为余数必须比除数小，所以余数和商可为1，2，3，4，5，6。这样被除数就可以求出来了。7×1＋1＝87×2＋2＝167×3＋3＝247×4＋4＝327×5＋5＝407×6＋6＝48答：被除数可以是8，16，24，32，40，48。【练习4】(1)下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？①[]÷6＝[]……[]②[]÷5＝[]……[]③[]÷4＝[]……[](2)算式[]÷9＝[]……[]中，商和余数相等，被除数最大是____。(3)算式[]÷[]＝[]……4中，除数和商相等，被除数最小是几？被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+……+99+100的结果。小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1【例题1】你有好办法算一算吗？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（）【思路导航】很容易看出这是一个等差数列，公差为1，首项是1，末项是10。依据前面的公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1（10－1）÷1＋1＝10等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2（1+10）×10÷2＝55答：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（55）【练习1】速算。（1）1+2+3+4+5+……+20（2）1+2+3+4+……+99+100（3）21+22+23+24+……+100（4）21+23+25+27+29+31+33（5）312+315+318+321+324【例题2】有一堆木材叠堆在一起，一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？【思路导航】这也是一个等差数列，公差为1，首项是16，项数是10。依据前面的公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1末项＝（项数－1）×公差＋首项末项＝（10－1）×1＋16＝25等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2（16＋25）×10÷2＝205答：这堆木材共有205根。【练习2】（1）体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，……这个体育馆东区共有多少个座位？（2）有一串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数大4,最后一个数是90，这串数连加的和是多少？（3）有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点钟敲12下，分钟指向6敲1下，这个钟一昼夜敲多少下？【例题3】计算1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81【思路导航】这题相对较复杂些。仔细观察，上列可以变成如下：1000－（11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19＋81＋82＋83＋84＋85＋86＋87＋88）括号里有两个等差数列。一个数列的首项是11，末项是19；另一数列的首项是81，末项是88，公差均为1。项数分别为9，8。依据前面的公式：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2两列数的和分别为：（11＋19）×9÷2＝135（81＋88）×8÷2＝676则1000－（135＋676）＝189【练习3】（1）1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1（2）1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-19（3）2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16在进行加减运算时，为了又快又好，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算的方法。加减法的巧算主要是运用“凑整”的方法，把接近整十、整百、整千的数看做所接近的数进行简算。进行加减巧算时，凑整之后，对于原数与整十、整百、整千……相差的数，要根据“多加要减去，少加要再加，多减要加上，少减要再减”的原则进行处理。另外，可以结合加法交换律、结合律以及减法的性质进行凑整，从而达到简算的目的。【例题】你有好办法迅速算出结果吗？502+799-298-98【思路导航】按照“凑整”的方法，502+799-298-98可变为：500+2+800-1-（300-2）-（100-2）=500+800-300-100+2-1+2+2=900+6-1=905【练习】（1）308+203-399-97（2）99999+9999+999+99+9（3）1999+199+19（4）375+483+525+617同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。【例题1】数出下图中有多少条线段？_D_A_B_C【思路导航】方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD2条；以C点为左端点的线段有：CD1条。所以，图中共有线段3+2+1=6（条）。方法二：把图中线段AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD3条；由2条基本线段构成的线段有:AC、BD2条；由3条基本线段构成的线段有：AD1条。所以，图中一共有3+2+1=6（条）线段。【练习1】（1）数出下图中有多少条线段？（2）数出下图中有几个长方形？_E_A_B_C_D【例题2】数出图中有几个角？_O_D_C_B_A【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。方法一：以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD3个；以OB为一边的角还有：∠BOC、∠BOD2个；以OC为一边的角还有：∠COD1个。所以，图中共有角3+2+1=6（个）。方法二：把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做基本角来数，那么，由1个基本角构成的角有：∠AOB、∠BOC、∠COD3个；由2个基本角构成的角有:∠AOC、∠BOD2个；由3个基本角构成的角有：∠AOD1个。所以，图中一共有3+2+1=6（个）角。【练习2】数出图中有几个角？（1）（2）_O_C_B_A_E_D_O_C_B_A【例题3】数出