集合的基本运算(课件)

1.1.3集合的基本运算思考：类比引入两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？思考：类比引入考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？（1）A=｛1，3，5｝，B=｛2，4，6｝，C=｛1，2，3，4，5，6｝．（2）A=｛x|x是有理数｝，B=｛x|x是无理数｝，C=｛x|x是实数｝．集合C是由所有属于集合A或属于B的元素组成的．一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Unionset）．记作：A∪B（读作：“A并B”）即：A∪B={x|x∈A，()x∈B}Venn图表示：A∪BAB说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）．并集概念A∪BABA∪BAB或例1．设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求AUB．解：}8,7,5,3{}8,6,5,4{BA}8,7,6,5,4,3{例2．设集合A={x|-1x2}，B={x|1x3}，求AUB．并集例题解：}31|{}21|{xxxxBA31|xx可以在数轴上表示例2中的并集，如下图：集合运算常用数轴画图观察例4：若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x－1或x4}，则集合AUB等于()A．{x|x≤3或x4}B．{x|－1x≤3}C．{x|3≤x4}D．{x|－2≤x－1}[答案]A[解析]将集合A、B表示在数轴上，由数轴可得AUB＝{x|x≤3或x4}，故选A例5．(09·上海)已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．[答案]a≤1[解析]将集合A、B分别表示在数轴上，如图所示．要使A∪B＝R，则a≤1.6．已知：A＝{x||x－a|＜4}，B＝{x|x＜－1或x≥5}，且A∪B＝R，求实数a的范围．并集性质①A∪A＝；②A∪＝；③A∪B＝AB____AABBA:1AAA:2AA:3ABABA:4ABAAB:5BABBAA,:6)()(:7CBACBA并集的交换律并集的结合律并集的相关性质：ABABAABA:8思考：类比引入考察下面的问题，集合C与集合A、B之间有什么关系吗？（1）A=｛2，4，6，8，10｝，B=｛3，5，8，12｝，C=｛8｝．（2）A=｛x|x是新华中学2004年9月入学的女同学｝，B=｛x|x是新华中学2004年9月入学的高一年级同学｝，C=｛x|x是新华中学2004年9月入学的高一年级女同学｝．集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成的．一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集（intersectionset）．记作：A∩B（读作：“A交B”）即：A∩B={x|x∈A（）x∈B}Venn图表示：说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合．交集概念ABA∩B=A∩BABA∩BB且交集性质①AA＝；②A＝；③AB＝AA____B(1)设A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩B＝．(2)设A＝{x|x1}，B＝{x|x2}，则A∩B＝.{2}∅(3)设S＝{x|2x＋10}，T＝{x|3x－50}，则S∩T＝.A．∅B．{x|x－12}C．{x|x53}D．{x|－12x53}D(2010·湖南文，9)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，m，4}，A∩B＝{2，3}，则m＝________.[解析]由题意知m＝3.[答案]3[例](09·全国Ⅱ)设集合M＝{m∈Z|－3m2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝()A．{0,1}B．{－1,0,1}C．{0,1,2}D．{－1,0,1,2}[解析]∵M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，∴M∩N＝{－1,0,1}，故选B.B7．你会求解下列问题吗？集合A＝{x|－2≤x1}．(1)若B＝{x|xm}，A⊆B，则m的取值范围是.(2)若B＝{x|xm}，A⊆B，则m的取值范围是.(3)若B＝{x|xm－5或x≥2m－1}，A∩B＝∅，则m的取值范围是.m－2m≥11≤m≤3[例3]已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B＝________.[分析]集合A和B的元素是有序实数对(x，y)，A、B的交集即为方程组4x＋y＝63x＋2y＝7的解集．[解析]A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝7}＝(x，y)4x＋y＝63x＋2y＝7＝{(1,2)}．ABBA:1AAA:2AA:3ABABA:4ABAAB:5BABBAA,:6)()(:7CBACBA类比并集的相关性质ABBA:1AAA:2A:3ABABA:4ABAAB:5BABBAA,:6)()(:7CBACBA一些性质（补充）：(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)．2．利用数形结合的思想，将满足条件的集合用韦恩图或数轴一一表示出来，从而求集合的交集、并集，这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法，要注意灵活运用．3．集合元素的互异性在解决集合的相等关系、子集关系、交集等时常遇到，忽视它很多时候会造成结果失误，解题时要多留意．解决集合问题时，常常要分类讨论，要注意划分标准的掌握，做到不重、不漏，注意检验．若已知x∈A∪B，那么它包含三种情形：•①x∈A且x∉B；•②x∈B且x∉A；•③x∈A且x∈B，这在解决与并集有关问题时应引起注意．•在求A∩B时，只要搞清两集合的公共元素是什么或公共元素具有怎样的性质即可．反之，若已知a∈A∩B，那么就可以断定a∈A且a∈B；若A∩B＝∅，说明集合A与B没有公共元素．[例5]已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，分别求适合下列条件的a值．(1)9∈A∩B；(2){9}＝A∩B.[分析]9∈A∩B与{9}＝A∩B意义不同，9∈A∩B说明9是A与B的一个公共元素，但A与B中允许有其它公共元素．{9}＝A∩B，说明A与B的公共元素有且只有一个9.[解析](1)∵9∈A∩B，∴9∈A∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.检验知：a＝5或a＝－3满足题意．(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A∩B，∴a＝5或a＝±3.检验知：a＝5时，A∩B＝{－4，9}不合题意，∴a＝－3.•已知：A＝{x|2x2－ax＋b＝0}，B＝{x|bx2＋(a＋2)x＋5＋b＝0}，且A∩B＝{}，求A∪B.[分析]由交集的定义知12∈A，且12∈B，于是可得关于a、b的二元方程组．解方程组求a、b的值，即可得集合A、B，再求A∪B.[解析]∵A∩B＝{12}，∴12∈A，且12∈B.∴2·(12)2－12a＋b＝0b·(12)2＋12(a＋2)＋5＋b＝0，解之得a＝－439b＝－269，于是A＝{x|18x2＋43x－26＝0}＝{12，－269}．B＝{x|26x2＋25x－19＝0}＝{12，－1913}．∴A∪B＝{12，－269，－1913}.[例6]高一(3)班的学生中，参加语文课外小组的有20人，参加数学课外小组的有22人，既参加语文又参加数学小组的有10人，既未参加语文又未参加数学小组的有15人，问高一(3)班共有学生几人？•[分析]借助Venn图可直观地得出有限集元素的个数．用card(A)表示集合A中所含元素的个数，则计数公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－Card(A∩B)[解析]设U＝{高一(3)班学生}，A＝{高一(3)班参加语文小组的学生}，B＝{高一(3)班参加数学小组的学生}，则A∩B＝{高一(3)班既参加语文小组又参加数学小组的学生}．•有card(U)＝15＋card(A∪B)＝15＋card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝15＋20＋22－10＝47(人)．故高一(3)班有47名学生．[例7]设集合A＝{y∈R|y＝x2＋1，x∈R}，B＝{y∈R|y＝x＋1，x∈R}，则A∩B＝()A．{(0,1)，(1,2)}B．{(0,1)}C．{(1,2)}D．{y∈R|y≥1}[错解]由y＝x2＋1y＝x＋1解得x＝0，y＝1，或x＝1y＝2，因而直线与抛物线交点为(0,1)、(1,2)，故选A.•[辨析]以上解法不对．集合A，B应该结合代表元素从整体意义上把握，它们是当x取一切实数时所得的y的值的集合，在审题时必须首先弄清集合的本质含义．•[正解]A＝{y∈R|y≥1}，B＝R，故A∩B＝{y∈R|y≥1}，正确答案为D.4．(09·广东理)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A．3个B．2个C．1个D．无穷多个B•[答案]B•[解析]M＝{x|－1≤x≤3}，N为正奇数集，•∴M∩N＝{1,3}．实例引入请看下例：A={班上所有参加足球队同学}B={班上没有参加足球队同学}U={全班同学}那么S、A、B三个集合之间有什么关系？一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universeset）．通常记作U．全集概念U实例引入请看下例：A={班上所有参加足球队同学}B={班上没有参加足球队同学}U={全班同学}那么U、A、B三个集合之间有什么关系？A={1,2,3,4}B={5,6,7,8}U={1,2,3,4,5,6,7,8}那么U、A、B三个集合之间有什么关系？全集1,2,5,63,47,8U1,23,4对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementaryset）,简称为集合A的补集．补集概念记作：A即：A={x|x∈U且xA}UAA说明：补集是与全集同时存在的。补集的概念必须要有全集的限制．Venn图表示：AUAUAUA补集的性质(1)、A∪(A)=.(2)、A∩(A)=问题：在下面的范围内求方程的解集：0322xx（1）有理数范围；（2）实数范围．并回答不同的范围对问题结果有什么影响？20322xxQx解：（1）在有理数范围内只有一个解2，即：（2）在实数范围内有三个解2，，，即：333,3,20322xxRx补集例题例．设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求A，B．解：根据题意可知：U={1，2，3，4，5，6，7，8}，所以：A={4，5，6，7，8}，B={1，2，7，8}．说明：可以结合Venn图来解决此问题．补集例题例6．设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}.求A∩B，（A∪B）解：根据三角形的分类可知A∩B＝，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，（A∪B）＝{x|x是直角三角形}．例.设全集为R,{5},Axx{3}.Bxx求A,B解：A5AAA{5xx例设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3}B={3,4,5,6},求CUA,CUB.解:根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以CUA={4,5,6,7,8}CUB={1,2,7,8}.例.设全集为R,{5},Axx{3}.Bxx求A,B解：B