工程数学线性代数第五版

用消元法解二元线性方程组.,22221211212111bxaxabxaxa12:122a,2212221212211abxaaxaa:212a,1222221212112abxaaxaa，得两式相减消去2x一、二阶行列式的引入;212221121122211baabxaaaa）（，得类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa）（时，当021122211aaaa方程组的解为，211222112122211aaaabaabx）（3.211222112112112aaaaabbax由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表)4(22211211aaaa定义)5(42221121121122211aaaaaaaa行列式，并记作）所确定的二阶称为数表（表达式即记住.2112221122211211aaaaaaaaD11a12a22a12a主对角线副对角线对角线法则2211aa.2112aa二阶行列式的计算若记,22211211aaaaD.,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组系数行列式列标行标.,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD.,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD.,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD.,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD.,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx注意分母都为原方程组的系数行列式..2221121122111122aaaababaDDx例1.12,12232121xxxx求解二元线性方程组解1223D)4(3,07112121D,14121232D,21DDx11,2714DDx22.3721二、三阶行列式定义333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的数表行个数排成设有记,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.记住三阶行列式的计算333231232221131211aaaaaaaaaD.列标行标对角线法则333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa322113aaa312312aaa312213aaa332112aaa说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.利用三阶行列式求解三元线性方程组如果三元线性方程组;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa注意与主对角线平行的三元素的乘积冠以正号，与副对角线平行的三元素的乘积冠以负号．的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD,0;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD若记333231232221131211aaaaaaaaaD或121bbb;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD记,3332323222131211aabaabaabD即;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD得;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD得;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaaD,3333123221131112abaabaabaD.3323122221112113baabaabaaD则三元线性方程组的解为:,11DDx,22DDx.33DDx333231232221131211aaaaaaaaaD,3332323222131211aabaabaabD2-43-122-4-21D计算三阶行列式例２解按对角线法则，有D4)2()4()3(12)2(21)3(2)4()2()2(241124843264.14213132321练习：计算三阶行列式11122233312331223118.094321112xx求解不等式例3解不等式左端1229184322xxxxD,652xx解得由0652xx3.2xx或例4解线性方程组.0,132,22321321321xxxxxxxxx解由于方程组的系数行列式111312121D1111321211111221315,0同理可得1103111221D,51013121212D,100111122213D,5故方程组的解为:,111DDx,222DDx.133DDx全排列及其逆序数第二节一、概念的引入引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解123123百位3种放法十位1231个位1232种放法1种放法种放法.共有6123二、全排列及其逆序数同的排法？，共有几种不个不同的元素排成一列把n问题定义把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.nn个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.nnP由引例1233P.6nPn)1(n)2(n123!.n同理在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.nstiiiii21stii例如排列32514中，定义我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.排列的逆序数32514逆序逆序逆序定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.例如排列32514中，32514逆序数为31010故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.计算排列逆序数的方法方法1分别计算出排在前面比它大的数码之和即分别算出这个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.n,n,,,121n,n,,,121n逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性，为偶排列的逆序数为注：标准排列0,....2,1n分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法2解在排列32514中,例1求排列32514的逆序数.nniinnntttttptptpppp...,:...::,....1122,1121则逆序数为即设排列为0514031:23:1：：：501013t逆序数例2计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.2179863541解453689712544310010t18此排列为偶排列.540100134321212nnn解12,21nn当时为偶排列；14,4kkn当时为奇排列.34,24kkn1nt2n32121nnn1n2nkkkkkk132322212123解0tkkk21112,2k当为偶数时，排列为偶排列，k当为奇数时，排列为奇排列.k112kkk112kkkkkk1323222121201122k阶行列式的定义第三节n一、概念的引入三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD322113312312332211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa说明（1）三阶行列式共有6项，即3！项．6!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．（4）各项的正负号与列标的排列对照．带正号：123（0），231（2），312（2）偶排列带负号：321（3），213（1），132（1）奇排列.)1(321321333231232221131211ppptaaaaaaaaaaaa！）种（的排列，是第二个列标第一个下标（行标）每一项36123123)3(321321321pppaaapppt排列的逆序数为列其中示为即各项前的正负号可表tt,)1(二、n阶行列式的定义nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义).det(ija简记作的元素．称为行列式数)det(ijijaa为这个排列的逆序数．的一个排列，，，，为自然数其中tnpppn2121nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、阶行列式是项的代数和;n!n3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;nn4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;aa5、的符号为nnpppaaa2121.1t例1计算对角行列式0004003002001000分析展开式中项的一般形式是43214321ppppaaaa41p若,011pa从而这个项为零，所以只能等于,1p4同理可得1,2,3432ppp解0004003002001000432114321t.24即行列式中不为零的项为.aaaa41322314例2计算上三角行列式nnnnaaaaaa00022211211分析展开式中项的一般形式是.21