特征线理论及应用

第二章特征线理论及应用气体动力学中，有大量问题是用双曲型偏微分方程来描述的，很难得到解析结果，在这种情况下，有两种数值解法：1）特征线数值解法：求解域用特征线网格进行离散，求各网格结点上的解；气体动力学中，有大量流动问题是用双曲型偏微分方程来描述的，宜于用特征线方法求解。2）有限差分法：求解域的有限差分网格一般是正交的，根据由偏微分方程构造的差分格式来求各网格结点上的解。§2.1特征线理论特征线的数学定义考虑一个一般的一阶双曲型偏微分方程：0121FyuAxuAx,y是两个自变量，u(x,y)是因变量。系数A1、A2及非齐次项F1可以是x，y，u的函数。（1）将偏微分方程改写为：01121FyuAAxuA)(设未知函数u(x,y)连续，u的一阶导数可以写作：【注:u的一阶导数可以不连续】dyyudxxuduyudxdyxudxdu偏微分方程的特征线定义为：xy平面内具有斜率为的曲线。12AAdxdy（2）（3）11()0udyuAFxdxy12AAdxdy11AFdxdu沿着特征线或：011FdxduA偏微分方程可化简为：代入式（4）01121FyuAAxuA)(得到偏微分方程的相容方程【是平面上这样一族曲线：沿着此族中任一曲线(a)，可以把待求物理量的一阶偏微分控制方程变换成等价的常微分控制方程(b)，称为原偏微分方程或偏微分方程组的相容方程】特征线的第一个数学意义：12AAdxdy011FdxduA(a)(b)特征线的第二个数学意义：12121212FAdudyFdyAduuxAdyAdxAAdxdydxdyuudxyu1210AAuyFux11111212AFdxduAduFdxuyAdyAdxAAdxdy上两式表明：沿着特征线，分母和分子均为零。,0000uuxy即沿着特征线，表明：1）沿特征线因变量的一阶导数具有不定值，可以是不连续的，在这种情况下，特征线是弱间断（第一类间断线）。2）在气体动力学中，特征线可以是弱扰动波传播的迹线，或者说弱扰动传播的迹线就是特征线。因此，因变量的一阶导数只允许有弱间断，如果在物理平面上有激波出现，在强间断面上便无法建立因变量的全微分式，也就不能用特征线方法求解。例：一阶偏微分方程0322xyuxxu1050yyu),(的初始条件是),(yxu2）沿此特征线的相容方程3）u(2,4)的值用特征线法确定：1）通过点(2,4)的特征线解：（1）对照一般形式的双曲型偏微分方程0121FyuAxuAxdxdy2该方程对应的系数：A1=1,A2=2x,F1=－3x2则特征线方程为：0322xyuxxu积分得：01C2xy为确定过点(2,4)的特征线，将x=2,y=4，代入上式得：12Cxy所以，所求的特征线方程是：对上式积分，得：23Cxu2113xAFdxdu（2）偏微分方程的相容方程为：如何确定C2？103xu102C初始条件u(0,y)=5y+102xy及特征线方程u(0,0)=10因此相容方程为：1810)4,2(3xu§2.2一维等熵流动的特征线数值解法基本方程与黎曼不变量0vvtxx（连续方程）（动量方程）（以一维等直截面管为例）基本方程10vvpvtxx等熵流动中只有一个状态参量独立：dpcdpdpdds21)()(p将基本方程中的用代替，得：ddp基本方程可化为：0cpvcxvvtx10vppxtccxvc两式相加减合并，基本方程可写作：11()()()0pvptvcvcccvtxx0xGvcvtGv)()()(xpcxGtpctG11定义cdpG则基本方程化为以vG为新的未知函数的偏微分方程：11()()()0pvptvcvcccvtxx0xGvcvtGv)()()(基本方程——偏微分方程0121FyuAxuA特征线？？相容方程？？cvdtdx在x-t平面上，把dx/dt=vc曲线称为偏微分方程的特征线。C＋C－xtvdtdxcvdtdxC＋表示第一族特征线；C－表示第二族特征线。解相容方程:0dtGvd)(constcdpvconstcdpvpB对多方气体：ccdcdp12Jcv12其相容方程的解为：由声速：21dpcBd沿着特征线,cvdtdx,cvdtdx()21vcJ黎曼不变量沿着特征线()21vcJ黎曼不变量结论：特征线的基本性质1）一维非定常流动中，平面x-t上任一点，都有两条不同族的特征线，沿各特征线有各自不同的黎曼不变量；2）特征线上参量v,c,p,…的一阶导数可以不连续，但这些参量本身是连续的，称因变量的一阶导数不连续的点叫做弱间断。如果初始某一点有弱间断，那么这个弱间断必定会沿着过该点的特征线向外传播。3）两个相邻的，不同类型流动区域的分界线，必定是特征线。三类流态中的特征线vcc0v0定常均匀流动相容关系描述的状态特征线xt特征线（不代表波的传播迹线）1J0J0J0J2J3J4J0J0J0Jxt(0)(I)(II)v/c0c/c0(0)(1)(2)(3)(4)简单波流动特征线相容关系描述的状态特征线活塞运动迹线复合波流动特征线相容关系描述的状态特征线xtc/c1v/c1C+C-76523489102345678910依赖区和影响区JcvJcv1212由于沿着两族特征线，分别有：可以把J＋和J－看作是两个新的函数，则)(JJcJJv412利用J＋和J－表示的特征线方程为：13()4431()44CCdxvcJJdtdxvcJJdt第I族特征线斜率仅由J-决定；第II族特征线斜率仅由J+决定。xtDABD点的依赖区MC＋C－C＋C－在平面运动中，沿着特征线黎曼不变量保持不变，这一重要性质清楚地揭示出流体动力学中的一些依赖关系。(,)(,0)(,)(,0)DDADDBJxtJxJxtJx设t=0时各量沿x轴的分布为v0(x),c0(x),于是可知黎曼不变量的相应分布为。则(x,t)平面上任意一点D(x,t)上的状态，将直接由x轴上点A(xA,0),B(xB,0)两点上的状态决定。00(,0),(,0)JxJx所以，点所处的状态将完全由且只由线段AB上的值决定，线段AB就称为点D的依赖区。(,)DDDxtDMM点的影响区xtABC＋C－同样，能够受到AB线段间某点M的初始值影响的区域，是由发自M点的与发自M点的所包围的区域，而这个区域之外的地方，都不受M点的影响。这个区域称为M点的影响区。CCPQ例：已知初始时刻v(x,0),c(x,0)D(x3,t)A(x1,0)MB(x2,0)xt,求D点的v(x,t),c(x,t)C+C-解：在D(x3,t)点，有32(,)(,0)JxtJx31(,)(,0)JxtJx22,11vcJvcJ根据：1112222(,0)12(,0)1JxvcJxvc212222121333ccvvtxJtxJtxv),(),(),(2212412121333vvcctxJtxJtxc)],(),([)(),(得：)(JJcJJv412由§2.3两个偏微分方程的特征线法考虑下面两个偏微分方程组成的方程组：1234112342uuvvAAAAFxyxyuuvvBBBBFxyxyx,y是自变量，u(x,y)和v(x,y)是两个因变量。系数A、B及非齐次项F可以是x、y、u和v的函数，方程组是准线性的。以上两个方程进行线性组合：1222112111211424132311221323()()()()()()0()ABABxvAByABABFFxABvuyu112341212342()()0AAAAFxyxyBBBBFxyvvxyuvvuuu假设待求函数u(x,y)和v(x,y)在x,y平面上是连续的，则连续函数的全微分为：duuudydxxydxdvvvdydxxydx上式作对比，可以发现，若存在一条斜率为下式的平面曲线：1222142411211323()()()()ABABdydxABAB沿着该曲线，偏微分方程就化为全微分方程：112113231122()()()0dudvABABFFdxdx1）特征线方程式可化为：121231232441()()0()()0dydyAABBdxdxdydyAABBdxdx1222142411211323()()()()ABABdydxABAB121234340dydyAABBdxdxdydyAABBdxdx为使得关于α1α2的方程组有非零解，系数行列式为零，即：2()()0dydyabdxdx1331142332412442()aABABbABABABABABAB化简行列式得：其中，242Cbbadydxa对应于椭圆型方程，没有实数解对应于抛物型方程，过每一点有一条特征线对应于双曲型方程，过每一点有两条特征线240ba240ba240ba物理特征线方程对于一个一阶的偏微分方程总是可以用特征线法求解;但是对于两个一阶的偏微分方程组来说，只有双曲型方程才能利用两条特征线求出两个因变量的数值解。2）相容方程121231232441()()0()()0dydyAABBdxdxdydyAABBdxdx123412341212()()()()dydyBBBBdxdxdydyAAAAdxdx由：解出12,代入全微分方程112113231122()()()0dudvABABFFdxdx32234224433443341442133243344334()()()()()()()()CCCCCABABABABdvdyduABABABABdxdydyFBAFFBAFdududyABABABABdx12C+,C-3C+,C-C+,C-XdyX()dxdydyX(),()dudx求得相容方程：MNtyx§2.4初值(Cauchy)问题：两个偏微分方程的特征线数值解法p(xp,yp)C+C-FGMN是物理平面上一条不是特征线的曲线，沿着该线各点的x,y和u,v都是已知的，求此曲线邻域内的解。,FFxy()()FMCFMFNCFNyydydxxxyydydxxx1）先确定F点的位置由C-和C+的特征线方程：求得F点的位置,FFuv2）求F点处的因变量值()()FMCFMFNCFNvvdvduuuvvdvduuu()()()()()()()()NMCNCMFCCNMCNCMFCCdvdvvvuududuudvdvdudududuuuvvdvdvvdududvdv