由an与Sn的关系求通项

由an与Sn的关系求通项an已知Sn，则an＝n＝1n≥2S1Sn－Sn－1an与Sn的关系式难点正本疑点清源要点梳理一、已知sn表达式：【例1】已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n+1(n∈N*)．求{an}的通项公式；解：n＝1时，a1＝S1＝1.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋2.经验证，a1＝1不符合an＝－2n＋2＝－n2＋n＋1+(n－1)2－(n－1)－11,122,2nnann所以＝－1,122,2nnann所以＝－难点正本疑点清源要点梳理一、已知sn表达式：【例1】已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n+1(n∈N*)．求{an}的通项公式；解n＝1时，a1＝S1＝1.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋n＋1+(n－1)2－(n－1)－1＝－2n＋2.经验证，a1＝1不符合an＝－2n＋2a1＝S1＝0.经验证，a1＝0符合an＝－2n＋2所以an＝－2n＋21,122,2nnann所以＝－注意：n=1时，a1若适合sn-sn-1,可并入n≥2的通项ann=1时，a1若不适合sn-sn-1,则用分段函数形式表示通项anA组专项基础训练已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝n2－3n；(2)Sn＝2n＋3.解(1)当n＝1时，a1＝S1＝－2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－3n)－[(n－1)2－3(n－1)]＝2n－4，由于a1也适合此等式，∴an＝2n－4.(2)当n＝1时，a1＝S1＝5，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋3)－(2n－1＋3)＝2n－1.an＝5，n＝1，2n－1，n≥2.由于a1不适合此等式，【例2】已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn＝4an－3,n∈N*.求{an}的通项公式．二、已知an与Sn的关系求通项an得a1＝1又由an＝Sn－Sn-1an＝4an-3－(4an-1-3)得3an＝4an-1解n=1时由a1＝S1＝4a1－3n≥2时143nnaa即是以1为首项，为公比的等比数列na43143nna114343nnnnsasa2、作差1、寻找an-1与sn-1的关系式3、整理（等差或等比数列递推形式）已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和21()2nnSa，（1）求证数列{an}为等差数列（2）求数列{an}的通项公式．解当n＝1时，a1＝S1＝2112a，∴a1＝1.当n≥2时，2111()2nnSa－－，作差得an＝Sn－Sn－1＝221(1)(1)4nnaa∴整理得（an+an-1）(an-an-1-2)=0.∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．∴an＝2n-1.巩固练习（二）由于{an}0∴an-an-1-2=0.132二、已知an与Sn的关系求通项an【例2】43nnsa【巩固练习】21()2nnSa在数列na中，11a，它的前n项和为nS，且)2(1222nSSannn，求na的通项公式。1、an=sn-sn-1代入2、整理sn与sn-1的递推式3、求sn表达式4、再求an统一变量形式，实现化简目的。小结一、已知sn表达式求an（注意并项问题）二、已知an与sn关系式1、转化为an的递推关系2、转化为sn的递推关系等差或等比的形式11,2nnnsassn,n=1转化思想