匀变速直线运动的三个推论-初速为零的匀变速运动的比例式

【同步教育信息】一.本周教学内容：专题一匀变速直线运动的三个推论专题二初速为零的匀变速运动的比例式二.知识归纳、总结：专题一匀变速直线运动的三个推论1.在连续相等的时间（T）内的位移之差为一恒定值，即△s=aT2（又称匀变速直线运动的判别式）推证：设物体以初速v0、加速度a做匀变速直线运动，自计时起时间T内的位移2021aTTvSI①在第2个T内的位移202023)2(22aTTvSTaTvSIII②①②两式得连续相等时间内位移差为220202123aTaTTvaTTvSSSIII即2aTS进一步推证得232221232TSSTSSTSSTSannnnnn……2.某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度即202ttvvvv推证：由atvvt0①知经2t的瞬时速度202ttavv②由①得0vvatt代入②中得222)(21000002ttttvvvvvvvvv即2vvvt02t3.某段位移内中间位置的瞬间速度2sv与这段位移的初、末速度0v和tv的关系为)(212202tsvvv推证：由速度位移公式asvvt2202①知222022savvs②由①得)(21202vvast代入②得)(21)(212202022022ttsvvvvvv则)(212202tsvvv讨论：在同一段匀变速直线运动中，对于加速或是减速，2tv与2sv有何关系？分析：若物体做匀加速直线运动，如图甲所示，物体由A到B历时t，而经2t物体的位移不到一半，即经2t，物体在中间位置O的左侧，所以22stvv。若物体做匀减速直线运动，如图乙所示，物体由A到B历时t，而经2t物体的位移已大于整个位移的一半，即达到O点的右侧，由于是减速，所以22stvv。综上可知：物体做匀变速直线运动时，某段位移上中间时刻的速度小于中间位置的速度。另析：由于202ttvvv)(212202tsvvv则4224)(0220220202222ttttstvvvvvvvvvv)2(410220ttvvvv由于)(02)(0022020ttttvvvvvvvv所以02222stvv即22stvv例1、一个做匀加速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是1s24m，2s64m，每一个时间间隔为4s，求质点的初速度和加速度。分析：匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，因而选择不同的公式，所对应的解法也不同。如：解法Ⅰ：基本公式法：画出运动过程示意图，如图所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择位移公式：2121attvsA)at21tv()t2(a21)t2(vs2A2A2将ms241、ms642、st4代入上式解得：smvsmaA/1,/5.22解法Ⅱ：用平均速度公式：连续的两段时间t内的平均速度分别为：smsmtsv/6/4/24/11smsmtsv/16/4/64/22B点是AC段的中间时刻，则21BAvvv22CBvvv)/(1121662221smvvvvvcAB得：smvA/1smvC/21)/(5.24212122smtvvaAC解法Ⅲ：用特殊式——判别式解：由△s=2at得)/(5.2440222smtsa再由2121attvsA解得smvA/1评注：①运动学问题的求解一般均有多种解法，进行一题多解训练可以熟练地掌握运动学规律，提高灵活运用知识的能力。从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思路和方法，从而形成解题能力。②对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优先考虑用判别式△s=2at求解。例2、某市规定，车辆在市区内行驶的速度不得超过40km/h，有一辆车遇到情况紧急刹车后，经时间st5.1停止，量得路面刹车的痕迹长为s=9m，问这辆车是否违章（刹车后做匀减速运动）？分析：本题隐含了末速度为零的条件，求出初速度就可判定。解：由于车做匀减速直线运动，则平均速度20tvvv又因为tvs所以5.12090v解得v0=12m/s=43.2km/h40km/h故可判断此车违章例3、从斜面上某一位置，每隔0.1s释放一颗小球，在连续释放几颗后，对在斜面上滑动的小球拍下照片，如图所示，测得sAB=15cm，sBC=20cm，试求：（1）小球的加速度（2）拍摄时B球的速度vB=？（3）拍摄时sCD=？（4）A球上面滚动的小球还有几颗？分析：释放后小球都做匀加速直线运动，每相邻两球的时间间隔为0.1s，可以认为A、B、C、D各点是一个球在不同时刻的位置。解：（1）由2Tsa知，小球的加速度22222/5/500/1.01520smscmscmTssaABBC（2）B点的速度等于AC段上的平均速度即smscmTsvACB/75.1/1.0220152（3）由于相邻相等时间的位移差恒定即ABBCBCCDssss所以mcmcmcmsssABBCCD25.02515402（4）设A点小球的速度为A　v由于Bv=Av+aT则smaTvvBA/25.11.0575.1所以A球的运动时间ssavtAA25.0525.1故在A球上方正在滚动的小球还有2颗评注：利用推论结合基本公式求解运动学问题非常方便.专题二初速为零的匀变速运动的比例式设t=0开始计时，以T为时间单位。则（1）1T末、2T末、3T末……瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶……=1∶2∶3∶……可由atvt，直接导出（2）第一个T内，第二个T内，第三个T内……位移之比，sI∶sⅡ∶sⅢ∶……=1∶3∶5∶……∶（2n－1）推证：由位移公式221ats得221aTsI222122321)2(21aTaTTasssII2222325)2(21)3(21aTTaTasssIII可见，sI∶sⅡ∶sⅢ∶……=1∶3∶5∶……∶（2n－1）即初速为零的匀加速直线运动，在连续相等时间内位移的比等于连续奇数的比.如一小球以某一初速度沿光滑斜面匀减速上滑，达顶端时速度为零，历时3s，位移为9m，求其第1s内的位移.分析：反过来看，物体初速为零，连续相等时间内位移之比为1∶3∶5，可知，以某初速上滑时第1s内的位移为总位移的95，即位移为5m.以上例子还可求出中间时刻的瞬时速度，即整个过程的平均速度smtsv/339，也可求运动的加速度21/25.130smtvva（取后一段研究），负号表示a与v的方向相反.当然还可求出初速度0v，由atvvt0得smatvvt/63)2(00（3）1T内、2T内、3T内……位移之比s1∶s2∶s3∶……=12∶22∶32∶……可由221ats直接导出（4）通过连续相同的位移所用时间之比321::ttt……nt=:)23(:)12(:1……)1(:nn推证：由221ats知ast21通过第二段相同位移所用时间)12(22222asasast同理)23(222233asasast则321::ttt……nt=:)23(:)12(:1……)1(:nn例1、一滑块自静止开始，从斜面顶端匀加速下滑，第5s末的速度是6m／s，试求（1）第4s末的速度；（2）运动后7s内的位移；（3）第3s内的位移分析：物体的初速度v0=0，且加速度恒定，可用推论求解.解：（1）因为00v所以atvt，即tv∝t故5:4:54vv第4s末的速度smsmvv/8.4/6545454（2）前5s的位移mtvs1552605由于s∝t2所以22575:7:ss故7s内的位移mmss4.29152549575227（3）利用sI∶sⅢ=1∶5知第3s内的位移sⅢ=5sI=5×0.6m=3m例2、一物体沿斜面顶端由静止开始做匀加速直线运动，最初3s内的位移为s1，最后3s内的位移为s2，已知s2－s1=6m；s1∶s2=3∶7，求斜面的总长.分析：由题意知，物体做初速度等于零的匀加速直线运动，相等的时间间隔为3s.解：由题意知6,731221ssss解得s1=4.5ms2=10.5m由于连续相等时间内位移的比为l∶3∶5∶……∶（2n－1）故sn=（2n－1）sl可知10.5=（2n－1）4.5解得n=35又因为s总=n2s1得斜面总长s总=2)35(×4.5=12.5m评注：切忌认为物体沿斜面运动了6s，本题中前3s的后一段时间与后3s的前一段时间是重合的。例3、一列车由等长的车厢连接而成.车厢之间的间隙忽略不计，一人站在站台上与第一节车厢的最前端相齐。当列车由静止开始做匀加速直线运动时开始计时，测量第一节车厢通过他的时间为2s，则从第5节至第16节车厢通过他的时间为多少?分析：此题若以车为研究对象，由于车不能简化为质点，不便分析，故取车为参考系，把车的运动转化为人做匀加速直线运动。解：据通过连续相等的位移所用时间之比为:)23(:)12(:1……)1(nn得214161451415151612t所以所求时间△t=4s另解：一般解法如下：设每节车厢长为s，加速度为a，则人通过第一节车厢的时间sast221则人通过前4节车厢的时间为sast4424人通过前16节车厢的时间为sast816216故所求时间sttt4416。评注：运动学题目的解法多种多样，但总有一些解法比较简单，希望在掌握基本解法的基础上多考虑一些不同的解题方法。【模拟试题】1、下列关于平均速度和即时速度的说法中正确的是A.做变速运动的物体在相同时间间隔里的平均速度是相同的B.即时速度就是运动的物体在一段较短的时间内的平均速度C.平均速度就是初末时刻即时速度的平均值D.某物体在某段时间里的即时速度都为零，则该物体在这段时间内静止2、下面关于加速度的描述中正确的有A.加速度描述了物体速度变化的多少B.加速度在数值上等于单位时间里速度的变化C.当加速度与位移方向相反时，物体做减速运动D.当加速度与速度方向相同且又减小时，物体做减速运动3、关于速度与加速度，下列说法中正确的是A.速度越大，加速度一定越大B.速度为零，加速度也一定为零C.加速度为零，速度也一定为零D.以上说法都不对4、做匀加速直线运动的物体，加速度是2米/秒2，它意味着A.物体在任一秒末的速度是该秒初的两倍B.物体在任一秒末的速度比该秒初的速度大2米/秒C.物体在第一秒末的速度为2米/秒D.物体任一秒的初速度比前一秒的末速度大2米/秒5、关于匀加速直线运动，下列说法中正确的是A.速度与运动时间成正比B.速度的增量与运动时间的平方成正比C.位移与运动时间的平方成正比D.在连续相同时间内的位移增量都相同6、对做匀减速运动的物体（无往返），下列说法中正确的是A.速度和位移都随时间减小B.速度和位移都随时间增大C.速度随时间增大，位移随时间减小D.速度随时间减小，位移随时间增大7、一个做初速度为零的匀加速直线运动的物体，下列说法中正确的是A.第4秒内的平均速度大于4秒内的平均速度B.第4秒内的平均速度大于第4秒末的即时速度C.第4秒内的位移小于头4秒内的位移D.第3秒末的速度等于第4秒初的速度8、甲、乙两物体沿一直线同向运动，其速度图象如图所示，在t时刻，下列物理量中相等的是A.运动时间B.速度C.位移D.加速度9、四个质点做直线运动，它们的速度图象分别如下图所示，下列说法中正确的是A.四个质点在2秒内速度变化快慢相同B.在第2秒末，质点（2）离出发点最远C.在第2秒内，质点（1）（3）做加速运动D.在第2秒末，质点（2）（3）偏离出发点位移相同10、如果运动的物体的平均速度等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值，则该运动一定不是A.匀速直线运动B.