法向量经典练习题

【山东省淄博市第一中学2012届高三第一学期期中理】1、（满分12分）：如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA平面ABC，,1,3,2,2BDCEAFABO为BC的中点（1）求证：AO∥平面DEF（2）求证：平面DEF平面BCED（3）求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值【山东省枣庄市2012届高三上学期期末理】2.（本题满分12分）如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BAD=60°.（1）证明：面PBD⊥面PAC；（2）求锐二面角A—PC—B的余弦值.【山东省临清三中2012届高三12月模拟理】3．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．4.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值。【答案】1、证明:⑴取DE中点G,建系如图，则A(0,3,0)、B(-1,0,0)、C(1,0,0)、D(-1,0,1),E(1,0,3)、F(0,3,2)、G(0,0,2),DE=(2,0,2),DF=(1,3,1).设平面DEF的一法向量m=(x,y,z),则mDE=0mDF=0即x+z=0x+3y+z=0,不妨取x=1，则y=0,z=-1,∴m=(1,0,-1),平面ABC的一法向量n=(0,0,1),OA=(0,3,0).OAn=0,∴OAn.又OA平面DEF,∴OA平面DEF.⑵显然,平面BCED的一法向量为v=(0,1,0),vn=0,∴平面DEF平面BCED⑶由⑴知平面DEF的一法向量m=(1,0,-1),平面ABC的一法向量n=(0,0,1)，cosm,n=mn|m||n|=-22∴求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值为22.【答案】2.（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC.BD因为PA平面ABCD，所有PABD.…………………………2分又因为PAAC=A，所以BD面PAC.……………………3分而BD面PBD，所以面PBD面PAC.…………………5分（2）如图，设ACBD=O.取PC的中点Q，连接OQ.在△APC中，AO=OC，CQ=QP，OQ为△APC的中位线，所以OQ//PA.因为PA平面ABCD，所以OQ平面ABCD，……………………………………………………6分以OA、OB、OQ所在直线分别为x轴、z轴，建立空间直角坐标系O.xyz则,0,0,3,0,1,0,0,0,3CBA.2,0,3P………………………………………………………………………7分因为BO面PAC，所以平面PAC的一个法向量为.0,1,0OB…………………………………8分设平面PBC的一个法向量为,,,zyxn而,2,1,3,0,1,3PBBC由,,PBnBCn得.023,03xyxyx令,1x则.3,3zy所以3,3,1n为平面PBC的一个法向量.……………………………10分cos＜nOB,＞.72133113nOBnOB……………………12分【答案】3．（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC．……………4分（Ⅱ）设AC∩BD＝O．因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，所以BO＝1，AO＝CO＝3．如图，以O为坐标原点，OB、OC所在直线及过点O且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz，则P（0，－3，2），A（0，－3，0），B（1,0,0），C（0，3，0）．所以PB＝（1，3，－2），AC＝（0,23，0）．设PB与AC所成角为θ，则cosθ＝＝622×23＝64．………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知BC＝（－1，3，0）．设P（0，－3，t）（t＞0），则BP＝（－1，－3，t）．设平面PBC的法向量m＝（x，y，z），则BC·m＝0，BP·m＝0．所以－x＋3y＝0，－x－3y＋tz＝0，令y＝3，则x＝3，z＝6t，所以m＝3，3，6t．同理，可求得平面PDC的法向量n＝－3，3，6t．因为平面PBC⊥平面PDC，所以m·n＝0，即－6＋36t2＝0．解得t＝6．所以当平面PBC与平面PDC垂直时，PA＝6．……………………12分