随机变量及其分布期末练习题及答案

随机变量及其分布期末练习题及答案1．在事件A发生的概率为p的伯努利试验中，若以记第r次A发生时的试验的次数，求的分布。[解]发生次试验次而第恰好出现了次试验中前AkrAkPkP11-)(),1,(,)1()1(11111rrkppCpppCrkrrkrkrrk小结求离散型随机变量的分布律时，首先应该搞清随机变量取可能值时所表示的随机事件，然后确定其分布列。为验证所求分布是否正确，通常可计算一下所求得的“分布列”之和是否为1，若不是，则结果一定是错误的。2．设随机变量X的分布函数为.1,1;10.0,1)(2xxAxxxF求（1）A的值；（2）X落在)21,1(及)2,31(内的概率；（3）X的概率密度函数。[解]（1）有分布函数的右连续性，在1x点处有1)01()1(FAF，即1A（2）由分布函数的性质知，41)1()21())21,1((FFXP；98311)31()2())2,31((2FFXP；（3）由于)(xF最多除1x和0点外处处可导，且在1,0x处连续，若取.10,2;10,0)(xxxxxf或则0)(xf，且对一切x有xdttfxF)()(，从而)(xf为随机变量X的密度函数。3．设),2(~2NX，且3.0)42(XP，求)0(XP[解]因为)0(2)42(3.0XP所以8.05.03.02于是2.0212202)0(XPXP4．一批鸡蛋，优良品种占三分之二，一般品种占三分之一，优良品种蛋重（单位：克）)5,55(~21NX，一般品种蛋重)5,45(~22NX。（1）从中任取一个，求其重量大于50克概率；（2）从中任取两个，求它们的重量都小于50克的概率。[解]（1）设A：任取一蛋其重量大于50克。1B：任取一蛋为优良品种2B：任取一蛋为一般品种则21,BB互斥，且SBB21，31)(,32)(21BPBP8413.0555501)50()(11XPBAP1587.0545501)50()(22XPBAP由全概率公式得)()()()()(2211BAPBPBAPBPAP6138.01587.0318413.032（2）从中任取2个，每个蛋重大于50克的概率6138.0p，小于50克的概率6138.011pq设任取2个，有Y个大于50克，则),2(~pBY于是所求概率为1492.0)6138.01()0(22002qpCYP问题与思考1．以样本点为自变量的任意单值实函数都是随机变量吗？2．非离散型随机变量就一定是连续型随机变量吗？3．设X为连续型随机变量，而)(xg为连续函数，)(XgY还是连续型随机变量吗？4．不同的随机变量其分布函数可能相同吗？5．连续型随机变量的密度函数连续吗？练习与答案1．一批产品，其中有9件正品，3件次品。现逐一取出使用，直到取出正品为止，求在取到正品以前已取出次品数的分布列、分布函数。2．重复独立抛掷一枚硬币，每次出现正面的概率为)10(pp，出现反面的概率为pq1，一直抛到正反都出现为止，求所需抛掷次数的分布列。3．对目标进行5000次独立射击，设每次击中的概率为0.001，求至少有两次命中的概率。4．已知某元件使用寿命T服从参数100001的指数分布（单位：小时）。（1）从这类元件中任取一个，求其使用寿命超过5000小时的概率；（2）某系统独立地使用10个这种元件，求在5000小时之内这些元件不必更换的个数X的分布律5．某加工过程，若采用甲工艺条件，则完成时间)8,40(~2NX；若采用乙工艺条件，则完成时间)4,50(~2NX。（1）若要求在60小时内完成，应选何种工艺条件？（2）若要求在50小时内完成，应选何种工艺条件？6．设某批零件的长度服从),(~2NX，现从这批零件中任取5个，求正好有2个长度小于的概率。7．设X分别为服从2,2U，,0U，2,0U的随机变量，求XYsin的概率密度函数8．设流入某水库的总水量（单位：百万立方米）服从上的均匀分布，但水库最大容量为7。，超过7的水要溢出，求水库存水量Y的分布函数参考答案：1．分布列X0123Y75.0204.0041.005.02．)4,3,2(11nqppqnn3．956.0)1()0(1)2(XPXPXP4．（1）61.0；（2）10,,3,2,1,0,)1()(10212110keeCkXPkk5．（1）两种工艺均可；（2）选甲为好6．3125.02121)2(3225CYP7．（1）1,11)(21xxxf；（2）10,12)(22xxxf；（3）1,11)(23xxxf；8．.7,1;74,44;4,0)(yyyyyFy⒈连续型随机变量X的密度函数是fx()，则PaXb()。答案：fxxab()d，⒉设X为随机变量，已知Dx()2，那么DX()35。答案：183、设随机变量X~...012060301，则EX()（）。A.1；B.13；C.0D.05.答案：D4、设随机变量XN~(,)522，求8XP3。解XN~(,)522XN5201~(,))25825253()83(XPXP＝)1()5.1(（查表）7745.08413.019322.05.设随机变量X的密度函数是03)2(3)(2xaxxf求(1)常数a;(2)P(X2.5)解(1)根据密度函数的性质1＝32d)2(3d)(axxxxf=1－(a－2)3所以a=2032)2(3)(2xxxf(2)P(X2.5)=5.222d)2(3xx=125.05.0)2(35.223x6．设随机变量X的分布函数为.1,1;10.0,0)(2xxAxxxF求（1）A的值；（2）X落在)21,1(及)2,31(内的概率；（3）X的概率密度函数。[解]（1）有分布函数的右连续性，在1x点处有1)01()1(FAF，即1A（2）由分布函数的性质知，41)1()21())21,1((FFXP；98311)31()2())2,31((2FFXP；（3）由于)(xF最多除1x和0点外处处可导，且在1,0x处连续，若取.10,2;10,0)(xxxxxf或7．设),2(~2NX，且3.0)42(XP，求)0(XP[解]因为)0(2)24222()42(3.0xPXP所以8.05.03.02于是2.0212202)0(XPXP8．设随机变量X的密度函数为fxxx()()311202其它，求：⑴PX(..)1525；⑵EX().解⑴PX(..)1525=5.21.5d)(xxf=21.52d)1(3xxX2345p110102103104=25.13)1(x=0.875⑵EX()=-d)(xxxf=212d)1(3xxx=21234)23243(xxx=749．盒中装有分别标12345,,,,数字的球，从中任取2个，用X表示所取2球中最大的数字.求X的概率分布.．解)2(XP=101251111CCC，)3(XP=102251211CCC，)4(XP=103251311CCC，)5(XP=104251411CCC，所以X的概率分布为：二）、例题分析1、（1）“CBA,,三个事件中至少两个发生”，这一事件可以表示为。答案：ACBCAB。（2）事件BA,满足,8.0)(,6.0)(,5.0)(ABPBPAP则________)(BAP。答案：分析根据概率的加法公式与乘法公式，我们有)()()()(ABPBPAPBAP)()()()(ABPAPBPAP=7.08.05.06.05.0（3）对于任意事件CBA,,，则________)(CBAP。答案：)()()()()()()(ABCPACPBCPABPCPBPAP分析))(()(CBAPCBAP])[()()(CBAPCPBAP)()()()()(BCACPCPABPBPAP=)()()()()()()(ABCPACPBCPABPCPBPAP2、事件BA,若满足1)()(BPAP，则A与B一定（）（A）不相互独立；（B）互不相容；（C）相互独立；（D）不互斥答案：D分析由加法公式，有1)()()()(ABPBPAPBAP而且1)()(BPAP时，只有0)(ABP时，才能保证上式成立，即ABφ，故选择D正确。3、袋中有5个球（3个新球，2个旧球），每次取一个，有放回地取两回地取两次，则第二次取到新球的概率是（）（A）53；（B）43；（C）21；（D）103答案：A分析设A表示“第一次取到新球”的事件，B表示“第二次取到新球”的事件。)()()()()()()()(ABPAPABPAPABPBAPABBAPBP53535253534、某种产品有80%是正品，有某种仪器检查时，正品被误定为次品的概率是3%，次品被误定为正品的概率是2%，设A表示一产品经检查被定为正品，B表示产品确为正品，求)()3();(),()2();(),()1(APBAPABPBPBP。解（1）2.0)(,8.0)(BPBP（2）776.097.08.0)()()(BAPBPABP004.002.02.0)()()(BAPBPBAP（3）78.0004.0776.0)()()()(BAPABPBAABPAP