相似三角形几种基本模型

1相似三角形几种基本模型经典模型特殊一般翻折180°平移特殊一般一般翻折180°双垂直双垂直斜交型斜交型斜交型平行型平行型特殊一边平移翻折180°旋转180°平移∽“平行旋转型”图形梳理：AEF旋转到AE‘F’F'E'FECBAAEF旋转到AE‘F’F'FECBAABCEFE'F'AEF旋转到AE‘F’ABCEFE'F'AEF旋转到AE‘F’特殊情况：B、'E、'F共线2AEF旋转到AE‘F’F'E'FECBAABCEFE'F'AEF旋转到AE‘F’C，'E，'F共线AEF旋转到AE‘F’F'E'FECBAAEF旋转到AE‘F’F'E'FECBA相似三角形有以下几种基本类型：①平行线型常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABCAABCBCDEDE②相交线型常见的有如下四种情形，如图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC11ABCDABCEED如下左图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB如下右图，已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC3A211BCACBEDD③旋转型已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，下图为常见的基本图形．BCADE④母子型已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD．ABCD相似三角形常见的图形1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）ABCDE12AABBCCDDEE12412(1)EABCD(3)DBCAE(2)CDEAB4（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。2、几种基本图形的具体应用：（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC（2）射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；EADCBEADCBADCB（3）满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．（4）当ADAEACAB或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB．ADCBEADCB相似三角形基本类型一、“X”型.BEACD12ECABDEABC(D)EADCB5JOADBCABCD二、“子母”，“A型”，“斜A”.ABCDECBADEABCDCAD（双垂直K型）三、“K”型ACDEB（三垂直K型）6ACDEBCAEBD四、共享型ABECD7CABDFEGABCEFDBCAE1.在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE.ABCDE1.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证∠ABE=∠ACD.84321FABDCE2.EFGTABOP3.如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连结AE交CD于点M，连结BD交CE于点N，给出以下三个结论：①MN∥AB；②1MN＝1AC＋1BC；③MN≤14AB，其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．39FECBAB'C'4．如图，Rt△ABC是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC交斜边于点E，CC的延长线交BB于点F．（1）证明：△ACE∽△FBE；（2）设∠ABC=，∠CAC=，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．5.Q2AEFDBC106.在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为_________.ABCDE7.090AE°,12EDBC.(1)当AB=AC时,①∠EBF=_________.②BE与FD数量关系.(2)当AB=kAC,求BEFD的值.FBECADFBACED118.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时．．出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0t10）．（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由．9.如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从点A、B、C同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动．设移动开始后第ts时，△EFG的面积为Scm2．(1)当t＝1s时，S的值是多少？(2)写出S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；(3)若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点B、E、F为顶点的三角形与以C、F、G为顶点的三角形相似？请说明理由。AEBFCGD