2019年第三节分部积分法.doc

第四章不定积分（§3分部积分法）1第三节分部积分法要求：掌握不定积分的分部积分法，明确用不定积分分部积分法解题的类型。重点：用分部积分法计算的题型并会计算。难点：换元积分法与分部积分法结合应用。作业：习题4－3（258P）1,4,6,12,13,14,19,21问题提出：我们知道，求不定积分是求微分的逆运算．导数公式不定积分公式；和差求导公式逐项积分公式；复合函数的求导公式换元积分公式；乘积求导公式分部积分公式．（不同类型函数乘积的积分）例如计算不定积分xdxxcos．前面各种方法求不出来该积分，我们可以设想xxcos为某两函数乘积导数的一部分，即xdxxdxxxxdsincos)sin(，上式两端积分xdxxdxxxxdsincos)sin(，得12sincoscosCxxxxdxxC，于是cossincosxxdxxxxC.一般地，若函数)(xuu，)(xvv具有连续导数，那么两个函数乘积导数公式为uvvuuv][移项，得vuuvvu][两边积分，得dxuvuvdxvu或vduuvudv，（dxvdv，dxudu）．上式称为分部积分公式．一、直接应用分部积分公式vduuvudv][．例1．计算不定积分dxxex．解设xu，dxedvx，则dxdu，xev（*），于是xxxxxedxxdexeedxxxxeeC．注意第四章不定积分（§3分部积分法）2（1）（*）处没有加C，这是因为加了C后，在后面计算中会抵消；（2）若设xeu,xdxdv，则dxexexdxxexxx222121，积分dxexx2比积分dxxex要复杂，没有达到预期目的．由此可见，选择u与dv非常关键，一般要考虑下列两点：（1）v要易求；（2）积分vdu要比积分udv易计算．例2．计算不定积分2xxedx．解设2ux，dxedvx，则2duxdx，xev，于是2222xxxxxedxxdexexedx22[]xxxxexeedx222xxxxexeeC．注意如果要两次分部积分，选取u与dv要一致，否则会还原．例3．计算不定积分xdxxcos2．解设xdxdvxucos,2；则xvxdxdusin,2，所以xdxxcos2xdxxxxsin2sin2．又设xdxdvxusin,；则xvdxducos,，于是xdxxcos2xdxxxxsin2sin2)coscos(2sin2xdxxxxx2sin2cos2sinxxxxxC2(2)sin2cosxxxxC．例4．计算不定积分xdxarcsin．解设dxdvxu,arcsin；则xvxdxdu,12第四章不定积分（§3分部积分法）3于是xdxarcsin21arcsinxxdxxx221)1(21arcsinxxdxx2arcsin1xxxC．例5．计算不定积分xdxxarctan．解设xdxdvxu,arctan；则2221,1xvxdxdu,于是xdxxarctandxxxxx222121arctan21dxxxxx11121arctan21222dxxxx)111(21arctan2122211arctan(arctan)22xxxxC211(1)arctan22xxxC．例6．计算不定积分xdxxxln)734(23．解设dxxxdvxu)734(,ln23；则xxxvxdxdu7,34,于是xdxxxln)734(23dxxxxxxx)7(ln)7(2334434311(7)ln743xxxxxxxC．从这几个典型例题可以看到，被积函数具有下列形式时可用分部积分法解决．设)(xp为x的某一多项式，a及b为常数，则（1）若()axpxedx时，设)(xpu，dxedvax；（2）若()sinpxaxdx或()cospxaxdx时，设)(xpu，axdxdvsin（或axdxdvcos）；（3）若()ln()pxaxbdx时，设)ln(baxu，dxxpdv)(；（4）若()arcsinpxaxdx或()arctanpxaxdx时，设dxxpdvaxu)(,arcsin．说明（1）用分部积分法的情况不止于此，总的原则是适当选取u及dv，使udv更加便于积分．（2）一般被积函数是不同类函数函数乘积时，往往想到用分部积分法．二、不同类型函数乘积例7．计算不定积分dxxxex2)1(．第四章不定积分（§3分部积分法）4解设2)1(,xdxdvxeux；则xvexdux11,)1(,于是21()(1)1xxxedxxedxxdxexxedxxxexxexxxx11)1(11xxxeedxx1xxxeeCx．例8．计算不定积分dxxxx21arctan．解设21,arctanxxdxdvxu；则221,1xvxdxdu，于是dxxxx21arctan221arctan1xdxxx221arctanln(1)xxxxC．例9．计算不定积分dxxfx)(2．解设2',()uxdvfxdx；则)(,2xfvxdxdu,所以dxxfx)(2dxxfxxfx)(2)(2．又设dxxfdvxu)(,'；则)(,xfvdxdu，于是dxxfx)(2dxxfxxfx)(2)(2))()((2)(2dxxfxfxxfx2()2()2()xfxxfxfxC．例10．计算不定积分dxxx22)(ln．解设22,)(lnxdxdvxu；则xvxdxxdu1,ln2，所以dxxx22)(lndxxxxx22ln2)(ln1．第四章不定积分（§3分部积分法）5又设2,lnxdxdvxu；则xvdxxdu1,1，于是dxxx22)(lndxxxxx22ln2)(ln1]1ln1[2)(ln122dxxxxxx2122(ln)lnxxCxxx．三、循环积分例11．计算不定积分xdxeIxsin．解设xdxdveuxsin,；则xvdxeduxcos,，所以dxexeIxxcoscos．又对于积分xdxexcos，再设xvdxeduxdxdveuxxsin,cos,；则，于是dxexeIxxcoscoscosxexxdxexexxsinsin，从而IxexeIxxsincos，故1(sincos)2xIexxC．例12．计算不定积分xdxI3sec．解因为I=xdxx2secsecsectanxdxxdxxxx2tansectansecdxxxxx)1(secsectansec2xdxxdxxxsecsectansec3，所以xdxxxIsec21tansec2111sectanln|sectan|22xxxxC．四、混合运算例13．计算不定积分dxex．解dxexdttetdtetttx222ttde)(2dtetett第四章不定积分（§3分部积分法）6cetett2222xxxeeC．例14．计算不定积分xdxlnsin．解xdxlnsintdtettxsinln101(sincos)2tettC例1(sinlncosln)2xxxC．五、递推公式例15．求不定积分nnaxdxI)(22),2,1(n．解当1n时，用分部积分法设dxdvaxun,)(122；则xvdxaxnxdun,)(2122，于是dxaxxnaxxInnn122222)(2)(dxaxaaxnaxxnn12222222)(2)(12222222)(2)(2)(nnnaxdxnaaxdxnaxx122222)(nnnInanIaxx，从而有递推公式nnnIannaxxnaI222211212)(21．12221212312(1)()22nnnxnIInaxana．已知1221arctandxxICxaaa，可以求出2222311arctan22xxICaxaaa．思考题1．归纳用分部积分法计算的不定积分的类型．2．求出xdxnsin的递推公式．