极值点偏移的好题

12．关于函数2lnfxxx，下列说法错误．．的是（）A．2x是fx的极小值点B．函数yfxx有且只有1个零点C．存在正实数k，使得fxkx恒成立D．对任意两个正实数12,xx，且21xx，若12fxfx，则124xx（21）（本小题满分12分）已知函数2()(2)e(1)xfxxax有两个零点.（I）求a的取值范围；（II）设x1，x2是()fx的两个零点，证明：122xx.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝211xxex.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0.(1)解：函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．f′(x)＝211xxex＋211xxex＝2222211e11xxxxxx＝222[12]e1xxxx.当x＜0时，f′(x)＞0；当x＞0时，f′(x)＜0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．(2)证明：当x＜1时，由于211xx＞0，ex＞0，故f(x)＞0；同理，当x＞1时，f(x)＜0.当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1＜x2，由(1)知x1∈(－∞，0)，x2∈(0,1)．下面证明：x∈(0,1)，f(x)＜f(－x)，即证2211ee11xxxxxx.此不等式等价于(1－x)ex－1exx＜0.令g(x)＝(1－x)ex－1exx，则g′(x)＝－xe－x(e2x－1)．当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，从而g(x)＜g(0)＝0.即(1－x)ex－1exx＜0.所以x∈(0,1)，f(x)＜f(－x)．而x2∈(0,1)，所以f(x2)＜f(－x2)，从而f(x1)＜f(－x2)．由于x1，－x2∈(－∞，0)，f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以x1＜－x2，即x1＋x2＜0.21.（本小题满分12分）已知函数ln,axfxbabRx的图象在点1,1f处的切线方程为1yx.（Ⅰ）求实数,ab的值及函数fx的单调区间；（Ⅱ）当1212fxfxxx时，比较12xx与2e（e为自然对数的底数）的大小.21.解：（Ⅰ）函数fx的定义域为0,，21lnaxfxx′，因为fx的图象在点1,1f处的切线方程为1yx，所以11,ln110,1faafb′，解得1a，0b.所以lnxfxx.所以21lnxfxx′.令0fx′，得xe，当0xe时，0fx′，fx单调递增；当xe时，0fx′，fx单调递减.所以函数fx的单调递增区间为0,e，单调递减区间为,e.（Ⅱ）当1212fxfxxx时，122xxe.证明如下：因为xe时fx单调递减，且ln0xfxx，又10f，当1xe时，fx单调递增，且0fx.若1212fxfxxx，则12,xx必都大于1，且必有一个小于e，一个大于.不防设121xex，当22xe时，必有122xxe.当22exe时，22122222ln2ln222exxfxfexfxfexxex，设ln2ln2exxgxxex，2exe，则221ln21ln2exxgxxex′2222241lnln222eexxxxexxxex2222241ln2ln2eexxxxeexex.因为2exe，所以2220,exee.故222ln0xee.又41ln0eexx，所以0gx′.所以fx在区间,2ee内单调递增.所以110gxgeee.所以122fxfex.因为11xe，22exe，所以202exe，e又因为fx在区间0,e内单调递增，所以122xex，即122xxe.综上，当1212fxfxxx时，122xxe.