沪教版初二上数学详细讲义

第十六章二次根式第一节二次根式【知识要点】1.二次根式代数式(0)aa叫做二次根式。读作“根号a”，其中a叫被开方数.2.二次根式有意义a有意义的条件是0a3．二次根式的性质性质一2(0)aaa性质二2()(0)aaa性质三ababa0,b0性质四(0,0)aaabbb4.最简二次根式在化简后的二次根式里：(1)被开方数中各因式的指数都为1；(2)被开方数中不含分母.被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.5.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.【学习目标】1.掌握二次根式有意义的条件及性质.2.掌握最简二次根式及同类二次根式.【典型例题】1.二次根式的判定【例1】下列式子中哪些是二次根式？（1）56；（2）2；（3）23x；（4）38；（5）21()3；（6）1(1)xx；（7）223xx；（8）2(0)aa；（9）21(1)x；（10）2x【答案】（1）、（3）、（5）、（7）、（8）是二次根式.【分析】二次根式要求根指数为2，所以（4）就不是二次根式，同时二次根式的被开方数必须是非负数，所以（2）、（6）显然不是，（9）中只有当10x即1x时，才是二次根式，（10）中只有当0x时，才是二次根式.2.二次根式有意义的条件【例2】当实数x取何值时，下列各式有意义？（1）21x；（2）2(2)x；（3）xx；（4）52x；（5）321xx；（6）164x。【答案】（1）12x；（2）x取任何实数；（3）0x；（4）5x；（5）32x且1x；（6）23x。【分析】（1）由210x，得12x，所以当12x时，21x有意义；（2）无论x取什么实数，都有2(2)0x，所以当x取任何实数时，2(2)x都有意义；（3）由0x，且0x，得0x，所以当0x时，xx有意义；（4）由502x，即50x，得5x，所以当5x时，52x有意义；（5）由320x且10x，得32x且1x，所以当32x且1x时，321xx有意义；（6）由1064x且640x，即640x，得23x，所以当23x时，164x有意义;3.二次根式的化简【例3】化简下列二次根式；（1）2(7)；（2）2(722)；（3）3112(0)xyyx；（4）2211(0,0)abab。【答案】（1）7；（2）227；（3）23xy；（4）22abab【解答】（1）原式；（2）原式72227；（3）由3120xy且0y，得0x，所以原式=222x13xy3xyxx2x2323xxyxyx；（4）由a且0b，得0ab，所以原式22222222baababababab。【例4】下列根式中哪些是最简二次根式？（1）15；（2）12；（3）0.125；（4）12ab；（5）2ab；（6）323xy；（7）2249xy【答案】（1）、（5）、（7）是最简二次根式.【解析】因为21223与323xy它们的被开方数中各因式的指数不都是1，所以（2）、（6）不是最简二次根式.因为10.1258与12ab，它们的被开方数含有分母，所以（3）、（4）不是最简二次根式.4.同类二次根式的判定【例5】下列各式中，哪些是同类二次根式？（1）18；（2）75；（3）15；（4）24；（5）1328；（6）45；（7）22288(0,0)xxyyxy；（8）226(0,0)xyxy。【答案】（1）1284；（2）7553；（3）1555；（4）2426；（5）123282；（6）4535；（7）因为0,0xy，所以2xy，于是2222882(2)22xxyyxyxy(2)2xy；（8）因为0,0xy，所以0xy，于是22666xyxyxy。因此（1）、（5）、（7）是同类二次根式；（3）、（6）是同类二次根式；（4）、（8）是同类二次根式.【基础训练】1．22)(aa成立的条件是_______________.2．当x________时，式子xx513有意义.3．当a________时，12aa；当a________时，12aa.4.代数式11xx中，字母x的取值范围是___________.5.若52x，则5222xx_____________.6．若m＜0，化简nmn2=____________.7.若011ba，则ba201100_____________.8．下列各式中，是最简二次根式的是（）A.18B.ba2C.22baD.329.式子xxxx11成立的x取值范围为A．x0B．xx10且C．x1D．x取任意实数10.下列各组式子中，同类二次根式的是（）.A.bcaba3322和B.32316273baab和C.baba34433134和D.baab22和11．mmmmmm15462的值（）.A.是正数B.是负数C.是非负数D.可为正也可为负12.x＜y，那么化简2)(yxxy为（）.A.0B.2yC.－2xD.2y－2x13.化简下列各式：（此题中的字母均为正数）（1）9234abc（2）xxy422（3）548022()()()xyxyxy（4）425（5）54934ba（6）22150【能力提高】1.化简并计算:己知x,y为实数,且212121xxy,求：121252yyyx的值.2.己知2334aba与462bba是同类根式，求ba3的值.3.已知0122423yxyx，求22yx的值.4.在实数范围内分解因式（1）4x4–1（2）x3-x2-2x+2第二节二次根式的运算【知识要点】1.二次根式的加减法先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.2．二次根式的乘除法二次根式的乘法：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变.二次根式的除法：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.3．分母有理化把分母中的根号化去，叫做分母有理化.4.有理化因式两个含有二次根式代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式.5．二次根式的混合运算在二次根式运算中，实数运算律、运算性质以及运算性质规定都实用.【学习目标】1.会进行二次根式的四则混合运算.2.会应用整式的运算法则进行二次根式的运算.【典型例题】1.二次根式的四则混合运算【例1】计算：（1）32818；（2）1135133；（3）11()(4.50.75)23；【答案】（1）52；（2）1433（3）1236；【解析】（1）原式42223252；（2）原式1643331634333333423333324333=214(4)3333（3）原式1193()()23241131232323221236；【例2】计算：（1）2362(3.75)2.8(2)3453；（2）610abbc（其中0a）；【答案】（1）675；（2）155acc【解析】（1）原式23615148()3454533628755；（2）因为0a，所以由根式6ab可知0b，再由根式10bc可知c.原式=6ab3a3a5c15ac15ac10bc5c5c5c5ac5c2.分母有理化【例3】把下列各式分母有理化：（1）118；（2）11aa。【答案】（1）26；（2）1a。【解析】（1）原式=222618236（2）原式2(1)11aaa。【例4】计算：（1）11332；（2）42aa；（3）35326；（4）()abababba。【答案】（1）4323；（2）2a；（3）532617；（4）ab。【解析】（1）原式=332333232（）（）33233434332233；（2）原式(4)(2)(2)(2)aaaa(4)(2)4aaa=2a；（3）原式3(5326)(5326)(5326)3(5326)7524532617；（4）原式()()abababababab()()abababab【例5】计算：（1）1011154154（）（）（2）(532)(1563)；（3）2babaabab；【答案】（1）154；（2）62；（3）0；【解析】（1）原式1010(154)(154)(154)10[(154)(154)](154)10(1516)(154)=154；（2）原式3(532)(523)3[5(32)][5(32)]23[5(32)]3[5(3262)]3(26)62；（3）解法一：原式22222abababababab()abababababab()0ababbabaabab解法二：原式2()babaabab0babaabab3.二次根式比较大小的常见方法（1）平方法：平方法比较两数a、b的大小时，当0,0ab时，如果22ab，那么ab；如果22ab，那么ab。当0,0ab时，如果22ab，那么ab；如果22ab，那么ab；（2）作差法：作差法比较两数a、b的大小时，如果，0ab那么ab；如果0ab，那么ab（3）作商法：作商法比较两数a、b的大小时，当0,0ab时，如果1ab，则ab；如果1ab，则ab；当0,0ab时，如果1ab，则ab；如果1ab，则ab；（4）倒数法（分子有理化法）倒数法比较两数a、b的大小时，当0,0ab时，如果11ab，则ab；如果11ab，则ab；当0,0ab时，如果11ab，则ab；如果1ab，则ab；【例6】比较下来各式的大小：（1）811与613；（2）257与358；（3）32与123；（4）1915与1511。【答案】（1）；（2）；（3）；（4）。【解析】第（1）题可以用“平方法“比较，第（2）题可用“作差法”比较，第（3）题可用“作商法”比较，第（4）题可用“分子有理化法”比较.4.一类特殊的二次根式求和问题用拆项相消的技巧往往使某些求和问题运算比较简便.【基础训练】1.计算：3112___________.2.计算：5011075231=___________.3.计算：757，9453223.4.计算：27314，3032.5.计算：ababab22，mnmnnm.6.计算：323，1553.7.分母有理化：27；12311.8.计算：22045415.9.23的倒数为______________10.若x53，y是x的有理化因式则y=，则xy，xy.11.下列各式运算结果正确的是（）A．233363B．161251612545()C．512562525·D．xyxyxy222212.下列各式化简结果正确的是（）A．1242aa,B．2141aaC．412312,D．3432aa13.根式123abx化简结果正确的是（）A．4abB．3632xxabC．43xabxD．43abx14.23334945的计算结果正确的是（）A．9034B．453C．