函数与方程思想总结(很好很全面)

函数与方程思想函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3．函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(1+x)^n(n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。【例1】.关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题是_____________解答：根据题意可令｜x2－1｜＝t(t≥0)，则方程化为t2－t＋k＝0，(*)作出函数t＝｜x2－1｜的图象，结合函数的图象可知①当t＝0或t＞1时，原方程有两上不等的根，②当0＜t＜1时，原方程有4个根，③当t＝1时，原方程有3个根.(1)当k＝－2时，方程(*)有一个正根t＝2，相应的原方程的解有2个；(2)当k＝14时，方程(*)有两个相等正根t＝12，相应的原方程的解有4个；(3)当k＝0时，此时方程(*)有两个不等根t＝0或t＝1，故此时原方程有5个根；(4)当0＜k＜14时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程|x2－1|＝t的解有8个答案：1234【例2】若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(０，12］成立，则a的最小值为_____________解答：１.分离变量，有a≥－(x＋1x)，x∈(０，12］恒成立.右端的最大值为－52，a≥－52.2.看成关于a的不等式，由f(0)≥0，且f(12)≥0可求得a的范围.3.设f(x)＝x2＋ax＋1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4.f(x)＝x2＋1，g(x)＝－ax，则结合图形(象)知原问题等价于f(12)≥g(12)，即a≥－52.【例3】设f(x)，g(x)分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞０，且g(－３)＝０，则不等式f(x)g(x)＜0的解集为___________解析：以函数为中心，考查通性通法，设Ｆ(x)＝f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数.又当x＜0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，所以x＜0时，F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x＞0时，F(x)也为增函数.因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3).如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F(x)＜0的解集是(－∞，－３)∪(０，３)【例4】已知实数,ab分别满足553,1532323bbbaaa，则ab=_________解答：已知的等式都是三次方程,直接通过方程解出,ab有一定的困难,但是,题设的两个等式的左边的结构相同,使我们想到用统一的式子来表示这两个等式,对题设的两个等式变形为331212,1212aabb,根据这两个等式的特征,构造函数32fxxx.函数fx是一个奇函数,又是R上的增函数,则有12,12,fafb于是,111,fafbfb因而得11.2.abab【例5】若圆0104422yxyx上至少有三个不同的点到直线0:byaxl的距离为22,则直线l的倾斜角的取值范围是___________解答：圆0104422yxyx整理为222(2)(2)(32)xy，∴圆心坐标为(2，2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线0:byaxl的距离为22，则圆心到直线0:byaxl的距离应小于等于2，∴22|22|2abab≤，∴241aabb0，∴2323ab，akb，∴2323k，直线l的倾斜角的取值范围是51212，【例6】如果实数,xy满足等式2223,xy那么yx的最大值为___________解答：根据已知等式,画出以2,0为圆心,以3为半径的圆,则yx的几何意义是圆上一点,xy与原点0,0所连直线的斜率.显然,yx的最大值是过原点0,0与圆相切的直线OA的斜率,由2,3OCCA可得3AOC.于是,yx的最大值是tan33【例7】设是方程0sin1tan12xx的两个不等实根，那么过点和的直线与圆的位置关系是___________解答：由题意，，因此和都在直线上，∴原点到该直线的距离，∴过的直线与单位圆相切．【例8】设定义域为R的函数1,01||,1|lg|)(xxxxf，则关于x的方程0)()(2cxbfxf有7个不同实数解的充要条件是__________解答：画出函数xf的图像,该图像关于对称,且0xf,令txf,若0)()(2cxbfxf有7个不同实数解,则方程02cbtt有2个不同实数解,且为一正根,一零根.因此,充要条件是0b且0c【例9】.设函数)(xf＝x2－1，对任意x∈),23(，)(4)1()(4)(2mfxfxfmmxf恒成立，则实数m的取值范围是____________．【答案】－∞，－32∪32，＋∞解析：(解法1)不等式化为f(x－1)＋4f(m)－fxm＋4m2f(x)≥0，即(x－1)2－1＋4m2－4－x2m2＋1＋4m2x2－4m2≥0，整理得1－1m2＋4m2x2－2x－3≥0，因为x2＞0，所以1－1m2＋4m2≥2x＋3x2，设g(x)＝2x＋3x2，x∈32，＋∞.于是题目化为1－1m2＋4m2≥g(x)，对任意x∈32，＋∞恒成立的问题．为此需求g(x)＝2x＋3x2，x∈32，＋∞的最大值．设u＝1x，则0＜u≤23.函数g(x)＝h(u)＝3u2＋2u在区间0，23上是增函数，因而在u＝23处取得最大值．h23＝3×49＋2×23＝83，所以1－1m2＋4m2≥g(x)max＝83，整理得12m4－5m2－3≥0，即(4m2－3)(3m2＋1)≥0，所以4m2－3≥0，解得m≤－32或m≥32，因此实数m的取值范围是m∈－∞，－32∪32，＋∞.(解法2)(前面同解法1)原题化为1－1m2＋4m2≥g(x)，对任意x∈32，＋∞恒成立的问题．为此需求g(x)＝2x＋3x2，x∈32，＋∞的最大值．设t＝2x＋3，则t∈[6，＋∞)．g(x)＝h(t)＝4tt2－6t＋9＝4t＋9t－6.因为函数t＋9t在(3，＋∞)上是增函数，所以当t＝6时，t＋9t取得最小值6＋32.从而h(t)有最大值46＋32－6＝83.所以1－1m2＋4m2≥gmax(x)＝83，整理得12m4－5m2－3≥0，即(4m2－3)(3m2＋1)≥0，所以4m2－3≥0，解得m≤－32或m≥32，因此实数m的取值范围是m∈－∞，－32∪32，＋∞.(解法3)不等式化为f(x－1)＋4f(m)－fxm＋4m2f(x)≥0，即(x－1)2－1＋4m2－4－x2m2＋1＋4m2x2－4m2≥0，整理得1－1m2＋4m2x2－2x－3≥0，令F(x)＝1－1m2＋4m2x2－2x－3.由于F(0)＝－3＜0，则其判别式Δ＞0，因此F(x)的最小值不可能在函数图象的顶点得到，所以为使F(x)≥0对任意x∈32，＋∞恒成立，必须使F32为最小值，即实数m应满足1－1m2＋4m2＞0，F32≥0，解得m2≥34，因此实数m的取值范围是m∈－∞，－32∪32，＋∞.【例10】．某工厂2005年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，一月份投入的建设资金恰与一月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到十二月份投入的建设资金又恰与十二月份生产利润相同，问全年总利润W与全年总投入资金N的大小关系是___________解答：设第一个月的投入资金与一月份的利润均为a，每月的增加投入百分率为r．则每月的利润组成数列，每月投入资金组成数列，如图，由两函数图象特点可知，有，可见，故WN1.(2011·北京)已知函数2,)1(2,2)(3xxxxxf若关于x的方程kxf)(有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．2.(2011·广东)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.3.(2009·福建)若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．4.(2010·天津)设函数f(x)＝x－1x，对任意x∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)0恒成立，则实数m的取值范围是________．解答：1.(0,1)解析：f(x)＝2x(x≥2)单调递减且值域为(0,1]，f(x)＝(x－1)3(x＜2)单调递增且值域为(－∞，1)，结合函数的图象可得f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(0,1)．2.10解析：S9＝S4,9a1＋9×82d＝4a1＋4×32d，a1＝1，d＝－16；由1＋(k－1)－16＋1＋3×－16＝0，得k＝10.本题也可用数列性质解题，S9＝S47＝0.3.(－∞，0)解析：由题意可知f′(x)＝3ax2＋1x，又因为存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋1x＝＝－13x3(x＞∈(－∞，0)．4.(－∞，－1)解析：因为对任意x∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)＝2mx－1mx－mx＜0恒成立，显然m≠0.所以当m＜0时，有2m2x2－1－m2＞0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，即2m2×1－1－m2＞0，解得m2＞1，即m＜－1；当m＞0时，有2m2x2－1－m2＜0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，m无解，综上所述实数m的取值范围是m＜－1.解答题题型一构造函数与方程思想【例1】已知函数f(x)＝x|x2－3|，x∈[0，m]，其中m∈R，且m0(1)若m1，求证：函数f