1.1.2-集合间的基本关系课件

第一章集合与函数概念莆田第十三中学陈盛强139595139751.1.2集合间的基本关系一、学习目标：（1）了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集;（2）理解子集、真子集、空集的概念;（3）能体会图示对理解抽象概念的作用.二、学习重点：子集、真子集的概念；学习难点：元素与子集、属于与包含之间的区别及空集的概念。四、师生探究1、类比思考我们都知道，实数之间可以比较大小，请大家比较下列数字大小：1、392、423、154、-125、16166、2321我们发现，对于实数，我们可以用不同的符号表示他们之间的大小关系，那么，对于我们上一节所学习的集合，他们之间是否存在类似的关系呢？这节课，我们就是来探究两个集合之间的基本关系。2、构建概念下面几个例子，你能发现两个集合间的关系吗？（1）设A={1，2，3}B={1，2，3，4，5}；（2）设A高一（2）班全体女生组成的集合，B为这个班级的全体学生组成的集合；（3）设A={x|x是两条边相等的三角形}，B={x|x是等腰三角形}；（4）设A={x|x2=1},B={-1，1}；（5）设A={x|x2=-1}。R2、构建概念在上面五组集合中，我们可以发现以下三个结论：1、在（1）、（2）中，集合A中的任何一个元素都是集合B的元素.这时我们说集合A与集合B有包含关系.称集合A是集合B的子集，记做：；读作：A含于B。2、在（3）、（4）中，集合A中的元素和集合B中的元素一样，即：集合A是集合B的子集（），且集合B是集合A的子集（），因此，我们称集合A与集合B相等。记作：。3、对于（5），我们发现，在实数范围内，这样的x不存在，也就是说，集合A中不含任何元素，我们把这样的集合叫做空集，记作：，并规定任何集合是空集的子集。BABAABBA3、师生探讨——子集的定义上面集合的包含关系我们可以用下面的图形来表示：BA用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.一般地，对于集合A、B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A与集合B有包含关系，称集合A为集合B的子集(subset)记做文字语言读做“A包含于B”（或“B包含A”）数学语言图形语言（Ｖeen图）对于集合A，B，若任意x∈A，都有x∈B，则称AB3、师生探讨——集合相等的定义上面集合的包含关系我们可以用下面的图形来表示：文字语言数学语言图形语言（Ｖeen图）对于集合A，B，若A⊆B，且B⊆A，那么称：A=B如果集合A是集合B的子集（A⊆B）且集合B也是集合A的子集（B⊆A），因此集合A和集合B中的元素是一样的，就说A与B相等，记A=B.B（A）3、师生探讨——空集的定义文字语言：不含任何元素的集合称为空集。记作：。规定：空集是任何集合的子集。3、师生探讨——真子集的定义上面集合的包含关系我们可以用下面的图形来表示：文字语言数学语言图形语言（Ｖeen图）若集合A是集合B的子集，且集合B中至少还有一个元素不属于集合A，则称集合A是集合B的真子集。若集合AB，但存在元素x∈B,且xA,我们把集合A叫做集合B的真子集（propersubset)，记做：AB（或BA）。BA显然，空集是任何非空集和的真子集。问题探讨：在实数中，a≤b怎样理解？有几层意思？类比AB又有几层含义？BAB（A）真子集集合相等结论：3、师生探讨——子集的特殊含义(1)..AA任何一个集合是它本身的子集，即.CCC).2(ABBABA那么且，如果、、对于集合(3).CC.ABABBAC对于集合、、，如果且那么(4).CC.ABABBAC对于集合、、，如果且那么(5).CC.ABABBAC对于集合、、，如果且那么(6).CC.ABABBAC对于集合、、，如果且那么3、师生探讨——子集的性质练习1：已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|1＜x＜2}，则A____B.c＝______.－110练习2：若{a,0,1}＝c，1b，－1，则a＝_____，b＝_____，【问题探究】1．符号“a∈A”与“{a}⊆A”有什么区别？答案：“a∈A”是指元素与集合的关系，而“{a}⊆A”是指集合与集合的关系．2．任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？答案：任何一个集合是它本身的子集；任何一个集合都不是它本身的真子集．3．集合{∅}是空集吗？它与集合{0}有区别吗？答案：有区别．集合{∅}不是空集，其元素为∅；集合{0}元素为0.题型1集合间的关系，，＝)：【例1】用适当的符号填空(∈，∉，(1)0____N；(2)0____{0}；(3)0____{1,2,3};(4){1}____{1,2,3};(5)1____{1,2,3};(6){1,2,3}____{3,2,1}；(7)∅____{a};(8)∅____{0}；(9){a，b}____{a，b，c}；(10){a，b，c，d}____{c，d，b，a}；(11){菱形}____{平行四边形}；(12){等腰三角形}____{等边三角形}；(13)∅____{x∈R|x2＋2＝0}．答案：(1)∈(2)∈(3)∉(4)(5)∈(6)＝(7)(8)(9)(10)＝(11)(12)(13)＝属于符号“∈”与不属于符号“∉”，它们只能用在元素与集合之间；包含符号“”或“⊇”、包含于(被包含)符号“”或“⊆”，它们只能用在两个集合之间．对此，必须引起充分注意，不能用错，不要出现把a∈{a}表示成a⊆{a}或a{a}之类的错误；又如{0}是含有一个元素的集合，∅是不含任何元素的集合．因此，有∅⊆{0}，不能写成∅＝0，∅∈0.四、例题分析例1写出集合{a,b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集？结论：若集合A有含n个元素，那么集合A的所有子集个数有2n个.集合A的所有真子集个数有2n-1个.集合A的所有非空真子集个数有2n-2个.变式训练：写出集合{a,b,c}的所有子集，其真子集有哪些？2．已知集合A＝{1,1＋d,1＋2d}，集合B＝{1，q，q2}，若A＝B，求实数d与q的值．解：由A＝B，得①1＋d＝q，1＋2d＝q2，或②1＋d＝q2，1＋2d＝q.解①，得q＝1，d＝0.此时A＝B＝{1}与A，B中含有3个元素矛盾，舍去．解②，得q＝－12，d＝－34.符合题意．A＝B＝1，14，－12.∴q＝－12，d＝－34.题型2子集的综合运用【例2】若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且BA，求m的值．思维突破：可求得A＝{－3,2}，使得BA的集合B有∅，{－3}，{2}三种情况，故需分情况讨论．解：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．∵BA，∴B＝∅，或B＝{－3}，或B＝{2}．即mx＋1＝0无解，或解为－3或2.当mx＋1＝0无解时，m＝0；(1)当BA时，要特别注意B＝∅的情况；(2)分类讨论时，要结合实际，且做到不重不漏．当mx＋1＝0的解为－3时，由m·(－3)＋1＝0，得m＝13；当mx＋1＝0的解为2时，由m·2＋1＝0，得m＝－12.综上所述，m＝0或13或－12.题型3数形结合在集合关系中的应用【例3】已知集合A＝{x|x－1或x≥5}，B＝{x|a≤x≤a＋4}，若B⊆A，求实数a的取值范围．解：∵a＋4a，∴B≠∅.∵B⊆A，∴有a≥5或a＋4－1，∴a≥5或a－5.深刻理解子集的概念，把形如A⊆B的问题通过数轴转化为不等式组问题，通过解不等式组使问题得以解决．使用数轴可以使抽象问题直观化，但是要注意端点值的取舍，即求出参数值后要验证端点值是否能取到．【变式与拓展】4．若{x|2x－a＝0}{x|－1x3}，则a的取值范围是____________．－2a6图D1解析：由2x－a＝0，得x＝a2，借助数轴，如图D1，∴－1a23，解得－2a6.【例4】已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围．易错分析：本题易漏掉对B＝∅的讨论而漏解．解：∵B⊆A，①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2；综上所述，实数m的取值范围为{m|m≥－1}．②当B≠∅时，有－3≤2m－1，m＋1≤4，2m－1＜m＋1，解得－1≤m2.22{|20}{|1},AxxxBxaxBAa例已知集合，若，则实数的值构成的集合为______.ABAAB特别提醒：若，时，特别要注意考=虑的情形.2110，，注意：分类讨论思想在数学中的应用。五、当堂训练1、快速完成教材P7练习2、3题；2、已知集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},且BA,求实数m.[方法·规律·小结]1．子集、真子集的几个性质．(1)性质1：任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A，特别地，∅⊆∅.(2)性质2：子集有传递性，A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；AB，BC⇒AC.(3)性质3：空集是任何一个非空集合的真子集．(4)性质4：A＝B⇔A⊆B且B⊆A.注意：子集包括集合的相等和真子集两种情况，理解真子集时要注意不但要求A⊆B，同时在B中至少要有一个元素不属于A.2．区分∅，{∅},0，{0}．(1)∅∈{∅}，此时∅作为元素，而{∅}则为元素是∅的集合．(2)在∅{∅}中，∅和{∅}均作为集合来理解．这样就符合空集是任何非空集合的真子集这一事实，同时不要把数0或集合{0}与空集∅混淆，数0不是集合，{0}是含有一个元素0的集合，而∅是不含任何元素的集合，更不要把空集错误地写成{空集}或{∅}．3．注意利用分类讨论的思想解决集合之间的关系和含有参数的问题，如在A⊆B的条件下，须考虑A＝∅和A≠∅两种情况，要时刻注意对空集的讨论；在集合的运算过程中，还要注意集合的元素具有互异性．4．集合子集的个数．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．注意：写集合的子集时，空集及集合本身易漏掉．六、课堂小结（一）基本内容：1、子集、真子集、集合相等；2、特殊集合：空集类比、分类讨论（二）数学思想方法：当堂训练：教材第12页练习第5题.课后作业：作业内容见后面的“课时练案”.七、作业布置