062007-200811.ffj(x)gRn,fx:fj(x)¸1kg(j;k=1;2;¢¢¢)fx:limj!1fj(x)0g.:fx:limj!1fj(x)0g=1Sk=11TN=11Sj=Nfx:fj(x)¸1kg,x02fx:limj!1fj(x)0g,k0,limj!1fj(x0)¸1k0,,N,nN¸N,fnN(x0)¸1k0,x021TN=11Sj=Nfx:fj(x)¸1k0g,x021Sk=11TN=11Sj=Nfx:fj(x)¸1kg;,x021Sk=11TN=11Sj=Nfx:fj(x)¸1kg,k02N,x021TN=11Sj=Nfx:fj(x)¸1k0g,N,j¸N,x02fx:fj(x)¸1k0g,fj(x0)¸1k0,limj!1fj(x0)¸1k00,x02fx:limj!1fj(x)0g.2.ffn(x)g[a;b],E½[a;b]limn!1fn(x)=Â[a;b]nE(x);x2[a;b]:En=fx2[a;b]:fn(x)¸12g;limn!1En.:limn!1En=[a;b]nE:8x2[a;b]nE;*limn!1fn(x)=1;)9N;8n¸N;fn(x)¸12;i.e.x2En;)x2limn!1En;)[a;b]nE½limn!1En;,x2[a;b]nE;*limn!1fn(x)=0;)9N;8n¸N;fn(x)12;i.e.x2En;)x2limn!1En;)limn!1En½[a;b]nE:)limn!1En=[a;b]nE:3.fAng;fBng,:(i)limn!1(AnSBn)=³limn!1An´S³limn!1Bn´;(ii)limn!1(AnTBn)=³limn!1An´T³limn!1Bn´::.4.f:X!Y;A½X;B½Y;?(i)f¡1(YnB)=f¡1(Y)nf¡1(B);(ii)f(XnA)=f(X)nf(A):1:(i).(ii)f(A)Tf(Ac)6=;.5.f(x;y):x2+y21gf(x;y):x2+y2·1g.:R,O;(O;R]ORO,(O;R)OROR,(O;R)»(0;1);(O;R]»(0;1];*(0;1)»(0;1];)(O;R)»(O;R];OO,.:An=f(x;y):x2+y2=1n2g;E1=1Sn=1An;E2=1Sn=2An,M,N;*fAng1n=1»fAng1n=2,,)E1»E2;*MnE2=NnE1;).6.f(x)(a;b).f(x)(f(x0)()0,±00;f(x)()0(x0¡±0xx0+±0)),f(x).:,:f(x)=(1;x2(a;b)TQ;2;x2(a;b)nQ:7.f(x)[0;1],M,[0;1]:x1;x2;¢¢¢;xn,jf(x1)+f(x2)+¢¢¢+f(xn)j·M,:E=fx2[0;1]:f(x)6=0g.:a0,E+a=fx2[0;1]:f(x)ag;E¡a=fx2[0;1]:f(x)¡ag;E=1Sn=1fx2[0;1]:jf(x)j1ng=1Sn=1(E+1=nSE¡1=n);8n,E+1=npx1;x2;¢¢¢;xp,p¢1njf(x1)+f(x2)+¢¢¢+f(xp)j·M;pnM,E+1=n,E¡1=n,E.8.f(x)R1.x02R1;±0;jx¡x0j±,f(x)¸f(x0);E=fy:y=f(x)g.:y2E,9x2R1,s.t.f(x)=y;,9±x0,s.t.f(z)¸f(x);z2(x¡±x;x+±x);rx;Rx,x¡±xrxxRxx+±x,y(rx;Rx)f;y1;y22E;y16=y2;9x1;x22R1,s.t.f(x1)=y1;f(x2)=y2;(rx1;Rx1)=(rx2;Rx2),,f(x1)¸f(x2);f(x2)¸f(x1),f(x1)=f(x2),;f;f(rx;Rx):x2R1;9y2E,s.t.f(x)=yg½Q2,E.9.ER3,E,E.:E,l;lP,Pr2Q+(Q+)E,E=fPgSr2Q+fx2E:d(x;P)=rg,E;,EA;B;C,,r1;r2;r3,E;,E=fA;B;CgS(r1;r2;r3)2Q+3fx2ETS(A;r1)TS(B;r2)TS(C;r3));S(P;r)Prg,E.10.ER2,AB,E=A\B;xA,yB.2:*E,)E,,X=fx1;x2;¢¢¢;xn;¢¢¢g;Y=fy1;y2;¢¢¢;yn;¢¢¢g,E=f(xi;yj)2E:i;j2Ng,EN2f:f((xi;yj))=(i;j);A1=f(i;j):i·jg;B1=f(i;j):ijg,A=f¡1(A1);B=f¡1(B1).11.ff®(x)g®2I[a;b].M0;jf®(x)j·M;x2[a;b];®2I;[a;b]E,ff®n(x)g;limn!1ff®n(x)g;x2E::*E½[a;b],):E=fx1;x2;¢¢¢;xm;¢¢¢g,,jf®(x1)j·M;®2I,Bolzano-Weierstrass,9ff®1ng1n=1½ff®g®2I,s.t.limn!1f®1n(x1);*jf®1n(x2)j·M;8n;)9ff®2ng1n=1½ff®1ng1n=1,s.t.limn!1f®2n(x2);,ff®mng1n=1½ff®m¡1ng1n=1,s.t.limn!1f®mn(xm);¢¢¢;E,m,limn!1ff®mn(x)g;x2E;E,ff®mmg1m=1,limm!1ff®mm(x)g;x2E.12.E=1Sn=1An:E=@,n0;An0=@.:,8n;An@;*E=@;)E»fx=(x1;x2;¢¢¢;xn;¢¢¢):xn2[0;1](n=1;2;¢¢¢)g,F,fEF,8n;An»f(An),Bn,PnBnn,Pn(x)=xn;x2Bn,Pn(Bn)·Bn=An@;*Pn(Bn)½[0;1];[0;1]=@;)9»n2[0;1]nPn(Bn);»=(»1;»2;¢¢¢;»n;¢¢¢),»2F,»»21Sn=1Bn=F,.,n0;An0=@.13.f(x)R1,E=fx:0;f(x+)¡f(x¡)0gR1.:8x2E0;9fxng1n=1½E,s.t.xn!x(n!1):80;9N;8nN;jx¡xnj2.:f(xN+1+2)¡f(xN+1¡2)0,f:f(x+)¡f(x¡)¸f(xN+1+2)¡f(xN+1¡2)0,x2E.E.14.F½Rn,EF,:E0TF6=;:,F½RnFE,E0TF6=;;F.:*E½F;)E,)E,E06=;;*F,)E0½F0½F;)E0TF6=;;,8x2F0;9fxng1n=1½F,s.t.xn!x(n!1),E=fxn:n=1;2;¢¢¢g,E0=fxg,,E0TF6=;,x2F,F.F,8n2N;9xn2F,s.t.kxnkn,xn,E=fxn:n=1;2;¢¢¢g,E0=;,E0TF6=;,F.15.F½Rn,r0;E=ft2Rn:x2F;jt¡xj=rg.:8t2E0;9ftng1n=1½E,s.t.tn!t(n!1).,8n;9xn2F,s.t.jtn¡xnj=r.ftngfxng,fxng,fxnkg1k=1,xnk!x(k!1);x2F;)jt¡xj=limk!1jtnk¡xnkj=r,t2E,E.16.A;BR1,(A£B)0=(A£B0)S(A0£B)::.317.E½R2;Ey=fx2R1:(x;y)2EgER1().E½R2,Ey.:8x2E0y;9fxng1n=1½Ey,s.t.xn!x(n!1),(xn;y)!(x;y)(n!1),Ey,f(xn;y):n=1;2;¢¢¢g½E,E,(x;y)2E,x2Ey,Ey.18.f2C(R1);fFkgR1,f³1Tk=1Fk´=1Tk=1f(Fk).:,f³1Tk=1Fk´½1Tk=1f(Fk),f³1Tk=1Fk´¾1Tk=1f(Fk):8y21Tk=1f(Fk),E=fx2R1:f(x)=yg;Fk;y=ETFk,f,E;fFkg,,fFk;yg,fFkgfFk;yg,,x21Tk=1Fk;y½1Tk=1Fk,f(x)=y,y2f³1Tk=1Fk´,f³1Tk=1Fk´¾1Tk=1f(Fk),.19.f(x)R1.r2Q;fx2R1:f(x)=rg,f2C(R1).:()t2R1;E1=fx2R1:f(x)tg;E2=fx2R1:f(x)tg,f2C(R1),r2Q;E1=fx2R1:f(x)rg;E2=fx2R1:f(x)rg.*E=fx2R1:f(x)=rg,)E1SE2;8x2E1;9B(x;±x)½E1SE2,9y2B(x;±x)TE2,f(y)r,,z2B(x;jy¡xj)½B(x;±x),s.t.f(z)=r,E1;E2,B(x;±x)½E1,E1,E2.().fR1,x02R1,0xn(n=1;2;¢¢¢),s.t.jxn¡x0j1n;jf(xn)¡f(x0)j¸,f(xn)¸f(x0)+f(x0),9r2Q,s.t.f(xn)¸f(x0)+rf(x0),,9»n,s.t.j»n¡x0j·jxn¡x0j1n;f(»n)=r;8n,»n!x0(n!1),E,fx2R1:f(x)=rg,x02E,f(x0)=r,rf(x0),,fR1.20.E1;E2R1,E026=;;E1+E02½(E1+E2)0::8x2E1+E02;9y2E1;z2E02,s.t.x=y+z;)9fzng1n=1½E2,s.t.zn!z(n!1);y2E1,y+zn!y+z=x(n!1);*y+zn2E1+E2;8n;)x2(E1+E2)0;y2E01,9fyng1n=1½E1,s.t.yn!y(n!1),yn+zn!y+z=x(n!1);*yn+zn2E1+E2;8n;)x2(E1+E2)0,.21.E½Rn:E6=;,E6=Rn;E(@E6=;).:@E=;:)E=_ES@E=_E;)E,E=;E=Rn;E=;,E=;,;E=Rn,_E=Rn,E=Rn,.@E6=;.22.G1;G2Rn,:G1TG2=;::G1TG26=;,9x2G1TG2;*G1,G1TG2=;;)x2G02,9B(x;±),s.t.B(x;±)½G1;)B(x;±)TG2=;,xG2,G1TG2=;.23.G½Rn:E½Rn;GTE½GTE;G.:E=Gc,GTGc½GTGc=;,Gc½Gc;)Gc,G4.24.a;b;c;d,P(x;y)=ax2y2+bxy2+cxy+dy:f(x;y):P(x;y)=0g?:a=b=c=d=0,E,f(x;y):P(x;y)=0g=R2,.a;b;c;d0,E,(x0;y0),0,B((x0;y0);)½E,~x2(x0¡;x0+),a~x2+b~xc~x+d0;P(~x;y)=a~x2y2+b~xy2+c~xy+dy=(a~x2+b~x)y2+(c~x+d)y,y2(y0¡p2¡(~x¡x0)2;y0+p2¡(~x¡x0)2),P(~x;y)=0,,E.25.f:R1!R1;G1=f(x;y):yf(x)g;G2=f(x;y):yf(x)g:f2C(R1)G1G2.:)()g(x;y)=f(x)¡y,g(x;y)R2,G1=f(x;y):yf(x)g=f(x;y):g(x;y)0g;G2=f(x;y):yf(x)g=f(x;y):g(x;y)0g.()G1G2,Gc1Gc2..8(x;y)2Gc10;9(xn;yn)2Gc1,s.t.(xn;yn)!(x;y)(n!1).xn!x;yn!y(n!1);yn¸f(xn);8n.f:f(x)=limn!1f(xn)¸limn!1yn=y,(x;y)2Gc1,Gc1,Gc2.(G1G2,Gc1Gc2.:fR1,x02R1,0xn,s.t.jxn¡x0j1n;jf(xn)¡f(x0)j¸.f(xn)¸f(x0)+,(