第四章-凝固过程温度场与收缩缺陷预测

第四章凝固过程温度场与收缩缺陷预测§4.1概述§4.2导热定律与导热微分方程§4.3定解条件§4.4凝固潜热的处理§4.5固相率与温度的关系§4.6收缩缺陷的预测判据§4.1概述铸件凝固过程数值模拟是铸造工艺CAD/CAE的重要组成部分。它与几何造型、数据库、专家系统、快速原型等技术相结合，构成铸造工艺CAD/CAE/CAM集成系统，图4-1。以导热偏微分方程为基础的凝固过程数值模拟研究始于20世纪60年代。初期的模拟仅限于传热过程，而且要作一系列简化假设，即使如此，模拟计算的结果还是与实际测定基本一致，这使人们看到了数值模拟的良好前景。后来的不断改进使数值模拟更真实地反映了实际铸造过程，同时也暴露出了一些重要但却被忽视的环节。例如，金属与铸型的热物理性能参数的取值对模拟精度影响很大；金属与铸型之间气隙的形成及由此而引起的界面热阻或传热系数的变化规律也非常重要。软总线软接口软接口软接口软接口软接口软接口数据库专家系统凝固过程模拟组织模拟与性能预测快速原型技术几何造型●●●●●●图4-1铸造工艺CAD/CAE/CAM的集成系统构成在计算方法上，初期的数值模拟主要使用有限差分法，以后陆续发展了交替方向隐式差分法及直接差分法，后者直接从单元体能量守恒的物理概念出发来建立计算方程，在网格剖分上还兼有有限元法的优点，能较好地处理复杂的几何形状。接着又将有限元法和边界元法用于凝固过程的数值计算。这些不同的计算方法在求解精度、计算时间长短、占用内存多少和算式复杂程度等方面各有千秋。随着数值模拟技术的广泛应用与不断深入，人们逐渐认识到，仅仅以导热方程作为铸件凝固过程的基本方程是远远不够的，还应当考虑液相流动以及流场与温度场的相互耦合。当人们进一步试图预测微观组织的形成时，关于形核、晶粒生长及溶质扩散等机制也被引入了凝固过程的模型中。当人们用数值模拟来分析铸件形成过程中的力学行为（如热裂、变形、残余应力）时，关于金属与铸型的高温力学行为和应力一应变规律也被引入了凝固模型。建立微观与宏观相统一，多种过程相耦合的全面完备的物理数学模型是进一步努力的方向。仅就铸件凝固过程的数值模拟来说，所包含的环节及流程如图4-2所示。图4-2铸件凝固过程的数值模拟流程§4.2导热定律与导热微分方程在金属凝固与铸件形成过程中，高温金属所含热量必须通过各种途径向铸型和周围环境传递，从而逐步冷却并发生凝固，最终形成铸锭或铸件。这个过程中包含了自然界所有的三种基本传热方式，并以铸件与铸型界面气隙中的传热过程最为复杂。尽管如此，发生在金属与铸型之中的热量传递乃是以热传导为主。基于热传导的数值模拟结果基本上与铸件实际凝固情况相吻合。§4.2.1温度场、等温面、温度梯度和热流温度是物体或系统的一个热力学量。温度的高低并非物体或系统所固有的，它是一个状态量。物体或系统温度在空间中的分布就构成了该物体或系统的温度场。温度是标量，没有方向性，因而温度场是一个标量场。如果温度场不随时间而变，称之为稳态温度场，在直角坐标系中的数学表达式为：T=f（x，y，z）；(4-1)如果温度场随时间而变，则称之为非稳态温度场，其数学表达式为：T=f（x，y，z，t）.(4-2)铸件凝固过程中的温度场显然是非稳态温度场。连续介质内的温度场一般都是连续的。所谓温度场连续的意义是指当场内相邻二点的距离趋近于零时，其温度差也趋近于零。在同一瞬间，由温度场中温度相同的各点所组成的面称为等温面。在二维温度场中所形成的是等温线。物体内的温度场通常可用等温面（线）来进行直观描述。等温面（线）具有如下一些特征：首先，由于温度场中的每一点不可能同时具有二个不同的温度，因而，代表不同温度的等温面（线）永远不会相交。其次，等温面（线）也不可能在物体内部中断，它们或者形成封闭的曲面（线），或者延伸到物体的表面或边缘。从物体内部任一点出发，除了沿等温面外，沿其它方向上的温度总是变化的。这时必然存在一个方向，在这个方向上温度的变化率（单位距离上温度的变化量）比其它任何方向都大。于是可定义一个向量，它的方向朝向最大温度增长率的方向，而其大小即为该方向上单位距离的温度变化量。我们称这个向量为该点的温度梯度，它的方向就是该点等温面的法线方向：nTnnTgradTn0lim（4-3）温度场内等温面密集的地方温度梯度大，等温面稀疏的地方温度梯度小。沿着非等温面方向（非切向）既然有温度变化，也就有热量的传递。我们把单位时间、单位面积上传递的热量称为热流。于是温度场中某一点的不同方向上存在着不同大小的热流。我们可以定义一个新向量，它的方向是热流最大的方向，它的大小即为沿该方向单位时间，单位面积上流过的热量，这就是热流向量，通常以表示。温度场内各点热流向量的总体构成热流场。显然它是一个向量场。q§4.2.2傅立叶导热定律——“导热欧姆定律”反映导热过程基本规律的是傅立叶（Fourier）定律，用数学形式表述为nTngradTq（4-4）傅立叶导热定律说明了，在物体内部各点上热流与温度梯度的关系，亦即热流与温度梯度成正比，方向相反。上式中的系数λ称为导热系数（thermalConductivity），是表征物体导热能力的一个物理量，是物体（介质）本身的性质。不同物质的导热系数不同，同一物质的导热系数还受温度和压力的影响。物质处于不同物态时，由于微观结构的差异，导热能力也有很大差别，所以它们的导热系数也各不相同。傅立叶定律的表式（4-4）暗含着一个约定，即物体（介质）中的导热系数是各向同性的。工程计算中采用的各种材料的导热系数都是由实验测定的。在金属凝固与铸造过程数值模拟中，λ是很重要的一项基本数据。由式（4-4）可以看到，当物体（介质）中的温度场确定后，热流场也就被唯一切确定下来了，因为当温度作为空间的函数被确定后，其对空间坐标的偏导数也是确定的。反之，在已知热流场的情况下，温度场并不能被唯一确定，因为由导数积分出原函数，还需要附加的定解条件，否则只能得到带积分常数的通解。§4.2.3傅立叶导热微分方程——“导热过程的能量守恒定律”傅立叶导热定律揭示了连续温度场内各点温度梯度与热流的关系，但它没有回答任一点上的温度与其邻近各点的温度有何关系，更没有回答温度随时间的变化规律。要解决这些问题，即揭示温度随空间与时间的变化规律，须要求助于傅立叶导热微分方程（简称傅立叶方程）。当物体内不存在热源或热阱，物质的热物性参数为常数（与温度无关）且各向同性时，该方程具有以下一般形式：222222zTyTxTtTCp（4-5）式中ρ为材料的密度；Cp为材料的定压比热。由于一般凝固与铸造技术中所涉及的大多为定压（即常压）过程，故Cp又常简记为C，并统称为比热；λ即材料的导热系数；T为温度；t为时间；x，y，z分别为直角坐标系的三个坐标值。有时傅立叶方程也可写成另一种形式：222222zTyTxTtT（4-6）其中，称为导温系数（或热扩散系数，热扩散率），其英文为thermaldiffusivity。Cq（x，y，z，t）的定义为，单位时间、单位体积中产生（+）或吸收（-）的热量。当介质的热物性参数不为常数（随温度而变化）且具有各向异性时，（4-7）式变为：zTkzyTkyxTkxtTCzyx（4-8）傅立叶导热微分方程实质上是热传导过程中的能量守恒方程。在介质中存在内热源q（x，y，z，t）时，其形式为：),,,(222222tzyxqzTyTxTktTC（4-7）§4.3定解条件——边值条件或单值性条件傅立叶方程揭示了物体（介质）内的温度与空间位置及时间的关系，反映了支配物体或一个系统内部导热现象的普遍规律。但它只是物体或系统内各部分之间的一种“相对关系”，要确定一个实际物体中的温度场，还需要各种定解条件，使一个具体的导热过程被唯一确定。这些条件通称为边值条件或单值性条件，包括以下几方面：几何条件：指物体的几何形状与尺寸。物性条件：指材料（介质）的热物理性质参数及其随温度的变化和空间分布。时间条件：又称初始条件，指已知某一时刻系统或物体内的温度分布情况。一般为所研究过程的初始时刻的情况。边界条件：指物体或系统边界上的热交换条件。因为物体或系统内部的导热现象总是与发生在它边界上的各种传热过程相联系，所以，求解温度场时也必须知道相应的边界条件。几何条件与物性条件是包含于方程之中的，而时间条件和边界条件则需要另外的数学表述。我们将二者合称为边值条件。微分方程与边值条件数学表式组成联立方程组，就可确定具体的温度场。对于稳态导热，时间条件自动消失，求得微分方程定解的唯一条件就是边界条件。非稳态导热的时间条件往往直接给出某时刻（一般为初始时刻）的温度分布，边界条件较为复杂多变，下面给以详细介绍。边界条件分为三类：第一类边界条件，也称为Dirichlet条件，给出了物体边界上各点的温度值，即),,,(1tzyxfT（4-9）第二类边界条件，也称为Neumann条件，给出物体边界上各点温度沿边界法向的导数，即),,,(2tzyxfnT（4-10）例如实际中常见的qxTk（已知边界上的热流）（4-11）0xTk（绝热边界条件）（4-12）xTkxTk2211（理想接触边界条件）（4-13）等均属于这类边界条件。第三类边界条件，也称为Robin条件，给出物体边界上各点的温度与沿边界法向导数的线性组合，亦即),,,(321tzyxfnTaTa（4-14）其中a1，a2是不为零的常数。实际中常见的情况有：)(TThxTkww（对流换热边界条件）（4-15）)(TThxTkwrw（辐射对流换热边界条件）（4-16）式（4-16）是由下式在条件下简化而来的)(44（存在接触热阻的边界条件）（4-17）其中，。实际情况下，高温辐射总是伴有对流换热的，为简化计算，将辐射与对流综合考虑，相应的hr为考虑了辐射和对流的综合换热系数。例如，形成凝固外壳的金属与铸型的接触就不是紧密接触，存在间隙，从而产生接触热阻，相应的边界条件为：3wrTh)(mwcwcwcTThxTk式中Tc为铸件内部温度，Tcw为铸件表面温度，Tmw为铸型内表面温度，hc称为“界面综合换热系数”，是界面接触热阻的倒数。TTw§4.4凝固潜热的处理凝固过程是一个固液相变过程，要放出结晶潜热，因此凝固过程的温度场是具有内热源的。假设凝固过程中固相体积分数为gs（x，y，z，t），固液相密度相同，结晶潜热按固相率均匀释放，则热源强度（单位体积单位时间释放的热量）为：tTTfLtTTgLtgLqsss（4-18）式中，fs为固相质量分数（质量固相率），在固液相密度相等的假设下，；如果固液相密度不同，则ssfg)1(sLsssssgggf在热物性参数各向同性情况下，即为TktTTgLCs（4-20）或TktTTfLCs（4-21）式中，为散度算子。当k为常数时，有TktTTfLCs2（4-22）式中，为拉普拉斯算子。2于是，凝固过程的导热微分方程为tgLzTkzyTkyxTkxtTCszyx（4-19）由上式可见，处理潜热项的关键在于求得质量固相率fs或体积固相率gs随温度变化的规律。求得固相率与温度的函数后，理论上即可代入上式求解，但实际不然。问题在于：其一，哪怕是一个简单函数，方程的解析求解也往往非常困难，甚至无法进行，而数值解法中又需要由待求的温度值来确定求解所需要的参数，这就要进行