高中数学数列知识点总结与题库

1第六章数列二、重难点击本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前n项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。知识网络第一课时数列四、数列通项na与前n项和nS的关系1．∑==++++=niinnaaaaaS1321⋯2．⎩⎨⎧≥−==−2111nSSnSannn课前热身3．数列{}na的通项公式为nnan2832−=,则数列各项中最小项是(B)A．第４项B．第５项C．第６项D．第７项4．已知数列{}na是递增数列，其通项公式为nnanλ+=2,则实数λ的取值范围是),3(+∞−5．数列{}na的前n项和142+−=nnSn,，则⎩⎨⎧≥−=−=25212nnnan数列与正整数集关系等差数列等比数列特殊数列求和方法公式法倒序相加法错位相减法裂项相消法n定义通项公式中项前项的和递推公式通项公式数列2题型一归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式⑴7，77，777，7777，…⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9…解析：⑴将数列变形为),110(97−×),110(972−)110(973−，,⋯)110(97−n⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。可得数列的通项公式为2)1(1nnna−++=点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。题型二应用⎩⎨⎧≥−==−)2()1(11nSSnSannn求数列通项例2．已知数列{}na的前n项和nS，分别求其通项公式.⑴23−=nnS解析：⑴当123,1111=−===San时，当)23()23(,211−−−=−=≥−−nnnnnSSan时132−⋅=n又11=a不适合上式，故⎩⎨⎧≥⋅==−)2(32)1(11nnann三、利用递推关系求数列的通项【例3】根据下列各个数列{}na的首项和递推关系，求其通项公式⑴141,21211−+==+naaann解析：⑴因为14121−+=+naann，所以)121121(2114121+−−=−=−+nnnaann所以)3111(2112−=−aa)5131(2123−=−aa43111()257aa−=−3…，…，1111()22321nnaann−−=−−−以上)1(−n个式相加得)1211(211−−=−naan即：24342411−−=−−=nnnan点拨：在递推关系中若),(1nfaann+=+求na用累加法，若),(1nfaann=+求na用累乘法，若qpaann+=+1，求na用待定系数法或迭代法。课外练习3设1212111++++++=nnnan⋯，(∗∈Nn)，则nnaa与1+的大小关系是(C)A．nnaa+1B．nnaa=+1C．nnaa+1D．不能确定解：因为0221321113212211+−+=+−+++=−+nnnnnaann所以nnaa+1，选Ｃ．二、填空题5．已知数列{}na的前n项和，142+−=nnSn则⎩⎨⎧≥−=−=)2(,52)1(,2nnnan7．已知数列{}na的通项9998−−nn（∗∈Nn），则数列{}na的前30项中最大项和最小项分别是910aa，解：构造函数99989919998−−+=−−=xxxy由函数性质可知，函数在)99(，−∞上递减，且1y函数在），＋∞99(上递增且1y4最小最大，），又910921301211101109(99aaaaaaaaa∴∴∈⋯⋯三、解答题6.26.26.26.2等差数列知识要点2．递推关系与通项公式mnaadnaaddnaadmnaadnaadaamnnnmnnnn−−=−−=−−=−+=−+==−+1;)1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系：为常数）即：特征：mkmknnfadadnann,(,)(),(1+==−+=),为常数，（mkmknan+=是数列{}na成等差数列的充要条件。３．等差中项：若cba,,成等差数列，则b称ca与的等差中项，且2cab+=；cba,,成等差数列是cab+=2的充要条件。４．前n项和公式2)(1naaSnn+=；2)1(1dnnnaSn−+=),()(,)2(22212为常数即特征：BABnAnSBnAnnfSndandSnnn+=+==−+=是数列{}na成等差数列的充要条件。5．等差数列{}na的基本性质),,,(∗∈Nqpnm其中⑴qpnmaaaaqpnm+=++=+，则若反之，不成立。⑵dmnaamn)(−=−⑶mnmnnaaa+−+=2⑷nnnnnSSSSS232,,−−仍成等差数列。６．判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：）常数）（∗+∈=−Nndaann(1⇒{}na是等差数列②中项法：)221∗++∈+=Nnaaannn（⇒{}na是等差数列③通项公式法：),(为常数bkbknan+=⇒{}na是等差数列④前n项和公式法：),(2为常数BABnAnSn+=⇒{}na是等差数列课前热身2．等差数列{}na中，)(31,1201191210864Caaaaaaa的值为则−=++++A．14B．15C．16D．171651203232)(32)2(31318999119=⋅==−=+−=−adadaaaa解5。3．等差数列{}na中，12910SSa=，，则前10或11项的和最大。解：0912129=−=SSSS，∵0003011111121110=∴=∴=++∴aaaaaa，又，，∴{}na为递减等差数列∴1110SS=为最大。4．已知等差数列{}na的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110解：∵⋯⋯，，，，，1001102030102010SSSSSSS−−−成等差数列，公差为D其首项为10010=S，前10项的和为10100=S11022101010010221029101010011010100110−=−⋅++=∴+=−−=∴=××+×∴）（又，SDSSSDD10210102)10(29840242)1(129850max22==+−−=−+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡×−+−−=ynnnnnnnny时，所以当６．设等差数列{}na的前n项和为nS，已知001213123=SSa，，①求出公差d的范围，②指出1221SSS，，，⋯中哪一个值最大，并说明理由。d)(nfan=nnanS{}na2≥n解：①)(6)(610312112aaaaS+=+=3724308240)82(213)(2132)(1372407240)72(63113131133−−−∴+∴+=+=+=−∴+∴+=ddddaaaaaSddda从而又②最大。，6677137612000130)(6SaaaSaaS∴∴=+=∵课外练习一、选择题1．已知{}na数列是等差数列，1010=a，其前10项的和7010=S，则其公差d等于(D)32313132．．．．DCBA−−2．已知等差数列{}na中，12497116aaaa，则，===+等于（A）A．15B．30C．31D．64151212497=∴+=+aaaaa∵解：二、填空题3．设nS为等差数列{}na的前n项和，971043014SSSS，则，=−==544．已知等差数列{}na的前n项和为nS，若=+++=118521221aaaaS，则65．设F是椭圆16722=+yx的右焦点，且椭圆上至少有21个不同点⋯⋯,),2,1(321FPFPFPiPi，，使=组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为⎥⎦⎤⎜⎝⎛∪⎟⎠⎞⎢⎣⎡−10100101，，解：椭圆的焦点F到椭圆上的点最大、最小距离分别为）和（17)17(−+，由题意得：1010010101012011217)117≤≤−∴≠≤∴≥−−=∴+=−+−ddddnnddn或，又（）（∵三、解答题6．等差数列{}na的前n项和记为nS，已知50302010==aa，①求通项na；②若nS=242，求n解：dnaan)1(1−+=102212501930950301112010+=∴⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+=+==nadadadaaan解方程组，由2)1(1dnnnaSn−+=，nS=242舍去）或解得(221124222)1(12−===⋅−+∴nnnnn7．甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2m，以后每分钟比前一分钟多走1m，乙每分钟走5m，①甲、乙开始运动后几分钟相遇？②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么，开始运动几分钟后第二次相遇？解：①设n分钟后第一次相遇，依题意有：舍去），解得(2077052)1(2−===+−+nnnnnn故第一次相遇是在开始运动后7分钟。②设n分钟后第二次相遇，则：舍去），解得(281570352)1(2−==×=+−+nnnnnn故第二次相遇是在开始运动后15分钟10．已知数列{}na中，，31=a前n和1)1)(1(21−++=nnanS①求证：数列{}na是等差数列②求数列{}na的通项公式③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11nnaa的前n项和为nT，是否存在实数M，使得MTn≤对一切正整数n都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，试说明理由。解：①∵1)1)(1(21−++=nnanS[]nnnnnnnnnnnnnnnanannaanananannaananSSaanS)1()2()1(1)2()1(1)1()1)(1()1)(2(211)1)(2(2111212111111+−+=−+∴−+=+∴−+=++−++=−=∴−++=∴+++++++++++整理得，nnnnnnaaaaanan+=∴++=+∴++++21212))(1()1(2∴数列{}na为等差数列。7②1)1(311−+==+nnannaa，{}122)1(3)1(2251211212+=⋅−+=−+=∴=−∴=−=∴nndnaaaaaaann的公差为即等差数列③)32)(12(111++=+nnaann∵61)32131(21)32112171515131(2132112121∈+−=+−+++−+−=∴⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=∗nnTNnnnnTnn时，又当⋯要使得MTn≤对一切正整数n恒成立，只要M≥61，所以存在实数M使得MTn≤对一切正整数n都成立，M的最小值为61。6.3等比数列知识要点1．定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为)0≠qq，（。2．递推关系与通项公式mnmnnnnnqaaqaaqaa−−+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：1113．等比中项：若三个数cba,,成等比数列，则称b为ca与的等比中项，且为acbacb=±=2，注：是成等比数列的必要而不充分条件。4．前n项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧−−=−−==qqqaaqqaqnaSnnn5．等比数列的基本性质，),,,(∗∈Nqpnm其中①qpnmaaaaqpnm⋅=⋅+=+，则若反之不真！②)(2∗+−−∈⋅==Nnaaaaaqmnmnnmnmn，③{}na为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。④⋯，，，时，nnnnnSSSSSq2321−−−≠仍成等比数列。6．等比数列与等比数列的转化①{}na是等差数列⇔{})10(≠cccna，是等比数列；②{}na是正项等比数列⇔{})10(log≠ccanc，是等差数列；③{}na既是等差数列又是等比数列⇔{}na是各项不为零的常数列。87．等比数列的判定法①定义法：⇒=+（常数）qaann1{}na为等比数列；②中项法：⇒≠⋅=++)0(221nnnnaaaa{}na