数列求和方法大全例题变式解析答案——强烈推荐

11.7数列前n项和求法知识点一倒序相加法特征描述：此种方法主要针对类似等差数列中112nnaaaa,具有这样特点的数列．思考：你能区分这类特征吗？知识点二错位相减法特征描述：此种方法主要用于数列}{nnba的求和，其中}{na为等差数列，}{nb是公比为q的等比数列，只需用nnSqS便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论q=1和q≠1两种情况．思考：错位时是怎样的对应关系？知识点三分组划归法特征描述：此方法主要用于无法整体求和的数列，例如1，112，11124，……，11124+……+112n，可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和．思考：求出通项公式后如何分组？知识点四奇偶求合法特征描述：此种方法是针对于奇、偶数项，要讨论的数列例如11357(1)(21)nnSn，要求Sn，就必须分奇偶来讨论，最后进行综合．思考：如何讨论？2知识点五裂项相消法特征描述：此方法主要针对12231111nnaaaaaa这样的求和，其中{an}是等差数列．思考：裂项公式你知道几个？知识点六分类讨论法特征描述：此方法是针对数列{na}的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问题，主要是要分段求.思考：如何表示分段求和？考点一倒序相加法例题1：等差数列求和12nnSaaa变式1：求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210变式2：数列求和2222sin1sin2sin3sin89考点二错位相减法例题2：试化简下列和式：21123(0)nnSxxnxx变式1：已知数列)0()12(,,5,3,112aanaan，求前n项和。3变式2：求数列23,2,3,,,naaana；的前n项和变式3：求和：nnanaaaS32321考点三：分组划归法例三：求数列1，112，11124，……，11124+……+112n的和.变式1：5，55，555，5555，…，5(101)9n，…；变式2：13,24,35,,(2),nn；变式3：数列1,(1+2),(1+2+22),……(1+2+22+…+2n－1),……前n项的和是（）A．2nB．2n－2C．2n+1－n－2D．n2n考点四：奇偶求合法例四：11357(1)(21)nnSn4变式1：求和：n1nSn-3…（-1）（4）nN变式2：已知数列{an}中a1=2，an+an+1=1，Sn为{an}前n项和，求Sn变式3：已知数列{an}中a1=1，a2=4，an=an-2+2（n≥3），Sn为{an}前n项和，求Sn考点五：裂项相消法例五：{an}为首项为a1,公差为d的等差数列，求12233411111nnnSaaaaaaaa变式1：1111,,,,,132435(2)nn；变式2：数列通项公式为11nann；求该数列前n项和变式3：：求和)12)(12()2(534312222nnnSn5考点六：分类讨论法例六：在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列．(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.变式1：在等差数列}{na中，,369181716aaaa其前n项和为nS.（1）求nS的最小值，并求出nS的最小值时n的值；（2）求nnaaaT21.变式2：设数列}{na满足132,511naaann，已知存在常数qp,使数列}{qpnan为等比数列.求naaa21.变式3：已知等比数列{na}中，1a=64，q=21，设nb=log2na，求数列{|nb|}的前n项和nS.6答案及解析考点一例一：等差数列求和12nnSaaa111()[(1)]aadand①把项的次序反过来，则：()[(1)]nnnnSaadand②①+②得：1112()()nnnnnSaaaaaa个1()nnaa1()2nnnaaS变式1：思路分析：由mnnmnCC可用倒序相加法求和。证：令)1()12(53210nnnnnnCnCCCS则)2(35)12()12(0121nnnnnnnnCCCCnCnSmnnmnCCnnnnnnCnCnCnCnS)22()22()22()22(2:)2()1(210有nnnnnnnnCCCCnS2)1(])[1(210等式成立变式2：设2222sin1sin2sin3sin89S，又∵2222sin89sin88sin87sin1S，∴289S，892S．考点二例二：21123(0)nnSxxnxx7解：①若x=1，则Sn=1+2+3+…+n=(1)2nn②若x≠1,则21123nnSxxnx2323nnxSxxxnx两式相减得：2(1)1nxSxx+…+nnnxx111nnxnxx∴21(1)1nnnxnxSxx变式1：思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列120,,,,naaaa对应项积，可用错位相减法求和。解：1)12(53112nnanaaS2)12(5332nnanaaaaSnnnanaaaaSa)12(22221)1(:21132当nnnnaaaSaa)12()1()1(21)1(,121时21)1()12()12(1aananaSnnn当2,1nSan时变式2：2323nnSaaana，当1a时，123nS…(1)2nnn，当1a时，2323nSaaa…nna，23423naSaaa…1nna，两式相减得23(1)naSaaa…11(1)1nnnnaaananaa，8∴212(1)(1)nnnnanaaSa．变式3：nnanaaaS32321解：⑴2)1(3211nnnSan时，⑵01aa时，因为nnanaaaS32321①1321211nnnananaaSa②由①－②得：)1)1()1()1()1(2)1()1()1()1(11)11(1111)11(22112aaaanaaannSaaanaaSanaaaanaaaSannnnnnnnnnn综上所述，所以考点三例三：求数列1，112，11124，……，11124+……+112n的和.解：∵11111242nna111()1221212nn∴1111(1)(1)224nS91111(1)242n211(21)(2)(2)2211(2)2n11112(1)242nn11222nn变式1：555555555nnS个5(999999999)9n个235[(101)(101)(101)(101)]9n235505[10101010](101)9819nnnn．变式2：∵2(2)2nnnn，∴原式222(123…2)2(123n…)n(1)(27)6nnn．变式3：C考点四例四：解：当n=2k(kN+)时,2(13)(57)nkSS[(43)(41)]kk2kn当21()nkkN时，21222[(41)]nkkkSSSakk1021kn综合得：1(1)nnSn变式1：解：当n为偶数时：S1591342nnnnn当n为奇数时：159134n32nS（4-3）（4-）n-1nnnn变式2：解：①当n为偶数时：12341nnnSaaaaaa…12341()()()122nnnnaaaaaa…②当n为奇数时：123451()()()nnnSaaaaaaa…13222nn变式3：解：∵an-an-2=2（n≥3）∴a1,a3,a5,…,a2n-1为等差数列；a2,a4,a6,…,a2n为等差数列当n为奇数时：11(1)22nnan当n为偶数时：4(1)222nnan即n∈N+时，1(1)nnan∴①n为奇数时：1(1)(123)2122nnnnSnn…②n为偶数时：(1)(123)222nnnnSnn…考点五例五：解：∵1111()()kkkkkkkkadaaaaaddaad111111111()()kkkkdaaddaa∴1223111111()()nSdaadaa1111()nndaa122311111111[()()()]nndaaaaaa1111()ndaa111[(1)]naand变式1：∵1111()(2)22nnnn，∴11111111[(1)()()()]2324352nSnn1111(1)2212nn．变式2：解：∵1111(1)(1)nnnannnnnnnn∴11121321nSnn(21)(32)(1)nn11n．变式3：思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解:)121121(211)12)(12(11)12)(12(11)2()12)(12()2(22kkkkkkkkkkak12)1(2)1211(21)]121121()5131()311[(2121nnnnnnnnaaaSnn12练习:求nnanaaaS32321答案:)1()1()1()1()1(2)1(2aaaanaaannSnnn考点六例六：解：(1))由题意得a1·5a3＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0.所以d＝－1或d＝4.所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－12n2＋212n.当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝12n2－212n＋110.综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－12n2＋212n，n≤11，12n2－212n＋110，n≥12.变式1：解：（1）当20n或21时，nS的最小值为-630.（2）21,126021232321,21232322nnnnnnTn变式2：3,26011323,224113211221nnnnnnaaannn变式3：解：na=1a1nq=n7213∴nb=log2na=n7（1）当n≤7时，nb≥0此时，nS=－212n+213n（2）当n＞7时，nb0此时，nS=