小学数学“创新教育”案例与分析

1小学数学“创新教育”案例与分析王之华内容提要：本文采用案例分析法从人际环境与创新、课堂教学与创新、数学活动与创新、教学模式与创新、创新教育与成果五个方面，对如何实施小学数学“创新教育”作了初步研究。每个案例描写的都是“创新教育”中遇到的真实问题，然后运用创造学、思维科学等现代教育科学理论分析这些问题，并提出实施“创新教育”的方法与途径。关键词：创新教育人际环境课堂教学数学活动“创新教育是以培养人的创新精神和创新能力为基本价值取向的教育”,其“着重研究和解决基础教育如何培养中小学生的创新意识,创新精神和创新能力的问题。”本文拟运用创造学、思维科学与数学教育的理论，对自己亲身经历的“案例”（其中甲、乙、丙为学生代表）作为分析，探索如何实施小学数学“创新教育”，以就教于同仁。人际环境与创新[例一]甲生被以为是“中等生”学生。一天下午某老师把甲叫到办公室辅导。后来这位老师有事出去了，甲做完题在等。甲四面看看，发现了我，就飞快地走大我身旁，说：“王老师，昨天我做的填充题：分母是6的所有最简真分数之和是1；今天做的填充题：分母是8的所有最简单真分数之和是2，是不是所有这样的同分母最简单真分数的和都是自然数？”接着她取出一张草稿纸，上面写着：31+32=1+32=1，41+43=1+43=1，51+52+53+54=1+2+3+54=2，……111+112+113+114+115+116+117+118+119+1110=1110987654321=1155=5，……对甲的发现，我由衷赞赏。我鼓励她说：你真肯动脑筋，从一个个具体例子中发现其中具有的规律，“创造”了知识，不过你发现的“规律”是否具有普遍意义，还需进一步作出证明，现在只可以说是我们的“猜想”，而“猜想”是科学发现的先兆，很有价值！今后你学了更多的数学知识，可以进一步探索，作出证明。在我的指导下，甲公开发表了我校学生撰写的第一篇数学小论文。其他2同学问讯后也展开了研究。乙进一步作出了“同分母（不为2）的所有最简真分数之和，等于这些分数的个数除以2所得的商”猜想，在校内开拓了探索数学奥秘的风气。[分析]“从人的天资和使命来看，每个人均有创造力，他们以不同的方式显示出来。”从数学考试的成绩来看，甲生属于“中下”水平，她的“天资”不见得十分聪明，但她对数学的好奇、好问，令我赞叹。这种好奇、好问正是创新意识的萌芽，创造力的潜能的流露。国外最新的创造力研究，特别重视环境对创造力的作用，“把创造思维过程看作是人与他所处的环境之间的相互作用”。环境要素中人际关系是第一位的。我待人至诚，与学生平等相处，师生关系和谐，学生和我交谈感到心理安全、心理自由，所以我虽然不教他们班的数学，甲也会与我真诚地交流。另外，创新思维需要时间，甲当时有充裕的时间。环境和时间，如果缺少其中的一个条件，那甲的创新思维火花也不会有了。因而，努力在课堂上下、校园内外营造一种宽容、宽松、开放的环境，使学生拥有自由支配的时间和主动探究的心态，是我们进行创新教育首先必须注意的。课堂教学与创新[例二]当学生编完9的乘法口诀以后，我要求学生仔细观察、思考：相乘的变化会引起积怎样的变化？这个变化有什么规律？过了一会儿，甲生说：每句口诀中被乘都是9，后一句口诀中乘数比前一句多1，积就比前一句多1个9。乙说：每句口诀中积的十位上的数和个位上的数相加都是9。我肯定了甲、乙的发现，并鼓励学生继续找规律。过了一会儿，丙说：9和几相乘的积，就是几十减几的得数。我问：你是怎么发现的？丙说：1个9比10少1，2个9比20少2，3个9比30少3，……，几个9就比几十少几，所以……。大家对丙的发现报以热烈的掌声。[分析]在传统的教学中，编完乘法口诀之后，就是读与算。本例却安排了一个观察与思考的环节，培养学生的观察力和初步的分析综合能力，并让学生感受到数量之间的相互联系，以激起学生探索学生探索规律的热情。观察客体所得的各种事实和材料是科学研究的基础，是一切科学发明创造的出发点。所以在教学中培养学生的观察力至为重要。本例中对如何观察作了指导：看被乘数、乘数和积三个数之间的关系，什么不变，什么变了；在不同变化中找他们共同的东西。在这个“异中求同”的过程中，必须要对观察对象进行分析，然后抽取出共同的东西加以综合，得出变化的规律。这种观察能力的培养和思维方法加以综合，得出变化的规律。这种观察能力的培养和思维方法的训练，是数学课中创新教育的基本途径。从本例中还可以看到，正如赞可夫说的，像乘法表这样的传统教学内容，即使教学大纲没有变，可是采用了新的教学法，也能收到较好的教学效果。3[例三]在复习一般应用题时，我出示一道题；某修路队修一天公路，计划每天修60天，7天修完。若需提前1天修完，平均每天比计划多修几米？甲解：60×7÷（7－1）－60＝420÷6－60＝70－60＝10（米）乙解：60÷（7－1）＝60÷6＝10（米），她说：这条公路计划7天修完，若提前1天修完，只能用6天。在6天里平均每天比计划多修的米数加起来等于计划1天修的米数加起来等于计划1天修的米数，所以只要把60除以6即可。大家对乙另辟蹊径的最简解法十分赞赏，但是又说不清为什么要这样解。这时，丙提出质疑，他说：用乙的算法，若需提前6天只能修完，60÷（7－6）＝60米，60+60=120（米），即1天只能修120米，而公路全程有420米，是不可能提前6天修完的。我表扬丙敢于质疑，并启发说：我们画个图，结合图形来研究好吗？于是师生共同作图如下：一天的工作量60⑴提前6天的工作量60×6⑵在⑴中，提前1天用6天修完，只要1天的工作量分成6份，平均分配到6天的工作时间中去，就是说若要提前1天修完，每天就要比原来多修“60÷6＝10”米。乙的解法实际上是60×7÷（7－1），这里把“×1”省略了是可以的。在（2）中，提前6天用1天修完，那么就要把6天的工作量60×6=360（米）都加到1天的工作量中去，即60×6+60=420（米）。最后，引导学生反思和评价这一段学习过程，有这样几点看法：（1）两种解法都是正确的，甲是一般解法，乙的解法更为简便。（2）同学们在解题过程中有说不清楚，或者有怀疑的地方要敢于提问，提得出问题是进步的开始。（3）根据题意作出草图，可以帮助我们理清思路。[分析]本例通过一题多解培养发散思维。所谓发散思维，是指多角度、多方向、多层次的一种思维方式。创新是对旧的突破。没有发散思维，墨守成规，4就谈不上创新。通过发散思维获得多种解法之后，还要运用聚合思维，通过比较，选取最优解。在本例中，学生赞赏了乙的最简解法，丙未真正理解，持怀疑态度，言语中有反唇相讥之味。我若以此加以否定或让他当众出丑，那对丙的学习激情和批判冲动将是一种残酷打击。实质上乙的解法只是“提前1天”的特例，而丙要寻求的却是“提前n天”的通解，这也是丙的思维中创新的火花。我在鼓励的同时启发他们用线段图辅助思考，列出算式，这样丙可以理直气壮地说出解题思路，获得认知与情感上的满足。在创新教育中，老师的宽容态度很重要，没有宽容心，就没有学生的自信心，没有自信心也就会失去创造的内驱力，无法培养学生的批判思维和创新精神。数学活动与创新[例四]在一次数学活动中，学生探索出“两因数十位上数相同，个位上数之和为10”，即俗称‘首同末合十“的速算法：用两因数个位上数的乘积作积的末两位，用十位上的乘数以比它大1的数，作积的前两位（如24×26=624，33×37=1221，48×42=2016）。接着，我鼓励学生根据已知的数学事实，猜想一下：类似的三位数乘三位数有没有速算法？学生猜想后，用计算器验算。甲提出了活动教材中没有的内容：三位数乘三位数，若两因数百位上数相同，其余数位上数之和为100时，有类似的速算法；乙猜想：若两因数千位、百位上数相同，其余数位上数之和为100，也有类似的速算法；丙提出：能否倒过来考虑，两位数乘两位数，若十位上数之和为10，个位上数相同，有没有速算法？三位数乘三位数……？这样，学生自己提出问题，自己验证。课堂气氛十分活跃。[分析]数学创新活动可以开拓创新教育的渠道，训练学生综合运用各种创新思维方法，经历和体验完整的创新过程，产生和扩大创新成果。基于以上考虑，中央教材所曹裕添研究员和我主编了一套12册的《小学数学活动》教材（由苏州大学出版社出版）。本例即是该教材中的一次创新思维训练，在活动中，我启发学生说出：最初的两位数乘两位数的速算法是由归纳思维得出的，类比推理到三位数乘三位数，在验证时又用了归纳思维。我再指出：由不完全归纳法与类比得到的结论不一定正确，需要证明或找反例推翻。这就是实事求是的科学精神。[例五]我利用《小学数学教师》上介绍的教案：章从群的《222倍之谜》（见1993年第1期，第74页~76页），开展数学活动。经过一番探索，学生找到一般规律：如用a、b、c表示不同的数字（不包括0），有abc+acb+……+cab=222(a+b+c)。出乎意料之外，甲提出：两位数、四位数等情况会怎样？学生很快找到两位数的规律：ab+ba=11(a+b)。师生又共同总结出四位数的规律：abcd+abdc+……+dcba=6666(a+b+c+d)。可五位数、六位数等情况呢？这时，乙猜想：多位数时，它的规律必是某一个常数与其数字之和的乘积。丙猜想：这个常数分别与11、111、1111、11111、……有关。我建议可用电脑探索验证。次日，有学生说：在因特网上，一位中学老师为他解决了编程问题，电脑证实了乙、丙5的猜想；另有学生在家长帮助下，用排列组合的知识也作出了证明。[分析]《“222“倍之谜》其实是一个开放题具有足够的灵活性，被认为的最富有创造教育价值的一种教学问题的体型，它的出现是知识经济时代呼唤的结果。又由于在教学活动中使用了计算器，使学生“有了（头脑、双手、嘴、空间、时间、眼睛）六大解放，创造力才可能尽量发挥出来。”这在本例中得到充分体现。甲的思维主要涉及潜意识过程，与“灵感”有关，若不加捕捉则稍纵即逝，当代的创造力研究者“都把杰出的创造性成就归因于情感，非理性因素的作用”。他们认为“只有在这种意识状态中才会产生重大的发明，发现和创造性的工作。”正是甲的提问才推动了探索活动的深入，引发了乙、丙的猜想。乙、丙的猜想是在归纳与类比的基础上提出的，其间伴随着联想、顿悟。数学教育家波利亚把教会学生猜想作为培养独创能力的得力手段。他指出：教猜想比教证明更重要。首先是猜想，然后是证实二个数学事实。然而，普通教科书不提供那样的机会。由于学生受所学知识局限，而且有些开放题不容易靠个人力量或在有限时间内完成，所以最后学生凭借电脑、网络、成人的帮助得出结论，这也是未来数学教育的发展趋向吧。数学模式的创新小学数学创新教育需要构建反映学科特点的，反映学生创新精神、创新能力培养的教学模式。据此我设计了一个“开放性问题解决”教学模式。[例六]纠正一道初中入学考试试题原“标准答案”的失误。1、创设问题情景；15年前某省一重点中学初中招生试题有一道填充题：“写出一个比76大，比87小的分母最小的最简分数，它是（）”因为76=11296，87=11298。所以标准答案至今取97/112，其实这个答案错了，为什么？2、引导探索解决：甲化成小数想：因为76=0.857142，87=0.875，可取0.86=5043；乙说：因为76=12/14；87=14/16，所以取1513。3、给予积极评价：这才是正确的标准答案。我们将15年前的“错案”改正！4、呈现新问题：87＜（）＜98，98＜（）＜109……学生得出：87＜（1715）＜98，98＜（1917）＜109……5、问题解决：丙猜想有这样的规律：nn1＜(1212nn)＜1nn(n为自然数)，并将证明的要求放到课外去。在课外有兴趣有能力的学生相互研讨，得如下证法：nn1=nn-1n=1-n161212nn=12212nn=1212nn-122n=1-211n1nn=111nn=11nn=1-11n∵n1＞211n＞11n，∴1