00常见立体图形外接球题型总结

第页1目录【题型1】球的性质的应用.......................................................................................................................................................3【题型2】“双直角”型.............................................................................................................................................................5【题型3】“墙角”型.................................................................................................................................................................6【题型4】“四面全等”型.........................................................................................................................................................8【题型5】“固化”型.................................................................................................................................................................9【题型6】“大小圆垂直”型...................................................................................................................................................11【题型7】“直棱柱”型...........................................................................................................................................................13【题型8】“正棱锥”型...........................................................................................................................................................14【题型9】“两面”型...............................................................................................................................................................15【题型10】“最值”问题.........................................................................................................................................................17第页2前言“三视图问题”、“球的问题”、“立体几何证明题”是数学高考立体几何门派的“三大剑客”，曾秒杀无数考生，特别是“球的问题”始终是高考的热点问题，题型为选择或填空。题目难度跨度大，其中有简单题，中等题有时也会有难题。它直接或间接的以球为载体综合考查空间几何体的体积、表面积计算，解题过程中又蕴含几何体线面关系的识别与论证。所以很少有哪个知识点能像球那样微观上把“数”与“形”数学中两大基本元素完美契合，宏观上实现代数与几何平滑过渡.可是这类问题缺乏几何直观，具有高度抽象性，区分度高，得分率低，属于学生畏惧，老师头疼的难点问题。不过这类问题有很强的规律性，若在平时解题中探索反思，注意总结，能找到通法，是我们学生潜在的得分点；同时研究它为处理空间几何体的证明问题锻炼能力，为解决三视图问题开拓思路。知识准备（1）等边三角形相关：面积、外接圆半径，内切圆半径；（2）直角三角形、等腰三角形、矩形圆心位置；（3）球的性质：【性质1】球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆.已知球O的半径为R.（1）若截面经过球心O.如图1，设A是截面与球面的任意一个交点，连接OA.由球的定义可知，OAR，所以点A的轨迹是以O为圆心，R为半径的圆，即该截面是圆.（2）若截面不经过球心O.如图1，设球心O在截面上的射影为1O，B是截面与球面的任意一个交点，连接1OO，OB和1OB，则OBR为定值，且1OO也为定值，所以2211OBROO为定值，因此，点B的轨迹是以1O为圆心，1OB为半径的圆，即该截面也是圆.【性质2】球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面.反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心.如图2所示，若圆1O是球O的小圆，则11OOO圆面.证明：如图，设AB，CD分别是圆1O的两条直径，连接OA，OB，OC，OD，1OO.依题意可得OAOB，所以1OOAB.第页3同理可得1OOCD，又因为1ABCDO，所以11OOO圆面.【性质3】如图2，设球O的半径为R，球O的小圆的圆心为1O，半径为r，球心O到小圆1O的距离1OOd，则由性质2得22dRr，或22rRd.【性质4】球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心.如图3，设球O的两个平行截面的圆心分别为1O，2O，连接1OO，2OO，由性质3可知，11OOO圆面，又因为12//OO圆面圆面，所以12OOO圆面.同理可得，21OOO圆面，且22OOO圆面，所以O，1O，2O三点共线，因此，12OO垂直于1O圆面和2O圆面，且12OOO.【性质5】球的直径等于球的内接长方体的对角线长.【性质6】若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心O是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的中点.【例1】已知球O的半径为2，圆M和圆N是球的互相垂直的两个截面，圆M和圆N的面积分别为2和，则||MN（）A．1B．3C．2D．5【变式1.1】已知三棱锥ABCS的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2SC，则此棱锥的体积为（）A．26B．36C．23D．22【变式1.2】已知三棱锥ABCS的各顶点都在一个半径为R的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，rAC2，则球的体积与三棱锥体积的比值是.【变式1.3】已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6AB，23BC，则棱锥OABCD的体积为.【变式1.4】已知A，B是球O的球面上两点，90AOB，C为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A.36B.64B.144D.256第页4【变式1.5】设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C，若圆C的面积等于47，则球O的表面积等于________．【例2】已知球的直径SC=4，A、B是该球球面上的两点，AB=3，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S-ABC的体积为（）A.33B.32C.3D.1【变式2.1】高为24的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一个球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A.42B.22C.1D.2第页5【例1】三棱锥P-ABC，若PB=2AB=2BC=4，AC=3，PA=PC=32，则该三棱锥外接球表面积为；【变式1.1】图为某多面体的三视图，则该多面体体的外接球表面积为；第页6【例1】已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的表面积为为（）A.153B.160C.169D.360【变式1.1】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（）A.217B.34C.33417D.3417【变式1.2】如右图，四面体ABCD的正视图和左视图都是腰长为1的等腰直角三角形，记四面体ABCD的体积为V1，其外接球的体积为V2，则12VV.【例2】在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，PA=PC=2，AC中点为M，COS∠PMB=33，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A.23B.2C.6D.6【变式2.1】在正三棱锥S—ABC中，M、N分别是SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=32，则正三棱S—ABC外接球的表面积为（）A.12B.32C.36D.48【变式2.2】在正三棱锥S-ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=22，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为（）A.6B.12C.32D.36第页7ABCDEFEFDA【例3】（墙角模型的应用）已知在三棱锥PABC中，PA面ABC，PCAB，若三棱锥PABC的外接球的半径是3，ABCABPACPSSSS，则S的最大值是（）A.36B.28C.26D.18【变式3.1】已知正三棱锥P—ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为.【变式3.2】已知三棱锥P-ABC的顶点都在同一个球面上（球O），且PA=2，PB=PC=6，当三棱锥P-ABC的三个侧面面积之和最大时，该三棱锥的体积与球O的体积的比值是（）A.163B.83C.161D.81【变式3.3】如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A´,若四面体A´EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（）A.2B.52C.112D.62【变式3.4】三棱锥A-BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面积分别为22、23、26，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.2B.6C.64D.24第页8【例1】在半径为1的球面上有不共面的四个点A，B，C，D且aCDAB，bDABC，cBDCA，则222cba等于（）A．16B．8C．4D．2【变式1.1】四面体ABCD中，5CDAB，34DABC，41BDCA，则四面体ABCD的外接球体积为。【变式1.2】四面体ABCD中，29CDAB，34DABC，37BDCA，则四面体ABCD的外接球的表面积为。【变式1.3】四面体ABCD中，10CDAB，5DABC，13BDCA，则四面体ABCD的外接球的表面积为。【例2】如图，长方体1111DCBAABCD的三个面的对角线1AD，BA1，AC的长分别是1，2，3，则该长方体的外接球的表面积为；【例3】四面体ABCD的四个顶点在同一球面上，3DACDBCAB，32BDAC，则该球的表面积为。【例4】某四面体的三视图如图，正视图、