数列练习题与答案

数列练习题一、填空题1．各项都是正数的等比数列{an}，公比q1,a5,a7,a8成等差数列，则公比q=2．已知等差数列{an}，公差d0,a1,a5,a17成等比数列，则18621751aaaaaa=3．已知数列{an}满足Sn=1+na41,则an=4．已知二次函数f(x)=n(n+1)x2-(2n+1)x+1,当n=1,2,…，12时，这些函数的图像在x轴上截得的线段长度之和为5.已知数列{an}的通项公式为an=log(n+1)(n+2),则它的前n项之积为6.数列{(-1)n-1n2}的前n项之和为7．一种堆垛方式，最高一层2个物品，第二层6个物品，第三层12个物品，第四层20个物品，第五层30个物品，…，当堆到第n层时的物品的个数为8．已知数列1，1，2，…，它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到，则该数列前10项之和为9．在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为10．已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），……，则第60个数对为11．设等差数列｛an｝的前n项和是Sn，若a5=20－a16，则S20=___________．12．若｛an｝是等比数列，a4·a7=－512，a3+a8=124，且公比q为整数，则a10等于___________．13．在数列｛an｝中，a1=1，当n≥2时，a1a2…an=n2恒成立，则a3+a5=___________．14．设｛an｝是首项为1的正项数列，且（n＋1）21na－na2n＋an+1an=0（n=1，2，3，…），则它的通项公式是an=___________．二.解答题1.已知数列{an}的通项公式为an=3n+2n+(2n-1),求前n项和。2．已知数列{an}是公差d不为零的等差数列，数列{abn}是公比为q的等比数列，b1=1,b2=10,b3=46,，求公比q及bn。3．已知等差数列{an}的公差与等比数列{bn}的公比相等，且都等于d(d0,d1),a1=b1，a3=3b3,a5=5b5,求an,bn。4．有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。5.已知等差数列｛an｝中，a1＋a4＋a7=15，a2a4a6=45，求｛an｝的通项公式．6.在等差数列｛an｝中，a1=13，前n项和为Sn，且S3=S11，求Sn的最大值．参考答案一、填空题1.2512.29263.n)31(3411411411nnnnaSaS,相减得an=14141nnaa故an=-131na4.1312111)1(14)(2122121nnnnxxxxxx5.log2(n+2)6.(-1)n-12)1(nn7.n2+n8.9789.6310.(5,7)规律：（1）两个数之和为n的整数对共有n-1个。（2）在两个数之和为n的n-1个整数对中，排列顺序为，第1个数由1起越来越大，第2个数由n-1起来越来越小。设两个数之和为2的数对方第1组，数对个数为1；两个数之和为3的数对为第二组，数对个数2;……,两个数之和为n+1的数对为第n组，数对个数为n。∵1+2+…+10=55，1+2+…+11=66∴第60个数对在第11组之中的第5个数，从而两数之和为12，应为（5，7）11．200．a1＋a20=a5＋a16=20，∴S20=220201aa=10×20=200．12．512．∵a3＋a8=124，又a3·a8=a4·a7=－512，故a3，a8是方程x2－124x－512=0的两个根．于是，a3=－4，a8=128，或a3=128，a8=－4．由于q为整数，故只有a3=－4，a8=128因此－4·q5=128，q=－2．所以a10=a8··q2=128×4=512．13．1661．a1a2…an=n2，∴a1a2…an－1=（n－1）2．两式相除，得21nnan（n≥2）．所以，a3＋a5=1661452322．14．n1．所给条件式即（an＋1an）[（n＋1）an＋1－nan]=0，由于an＋1an＞0，所以（n＋1）an＋1=nan，又a1=1，故nan=（n－1）an－1=（n－2）an－2=…=2a2=a1=1，∴an=n1．二、解答题1．Sn=a1+a2+…+an=(31+21+1)+(32+22+3)+…+[3n+2n+(2n-1)]=(31+32+…+3n)+(21+22+…2n)++[1+3+…+(2n-1)]=272232)121(21)21(231)31(3211nnnnnnn2.a1b=a1,a2b=a10=a1+9d,a3b=a46=a1+45d由{abn}为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.∴q=4又由{abn}是{an}中的第bna项，及abn=ab1·4n-1=3d·4n-1,a1+(bn-1)d=3d·4n-1∴bn=3·4n-1-23.∴a3=3b3,a1+2d=3a1d2,a1(1-3d2)=-2d①a5=5b5,a1+4d=5a1d4,∴a1(1-5d4)=-4d②②/①,得243151dd=2，∴d2=1或d2=51,由题意，d=55,a1=-5。∴an=a1+(n-1)d=55(n-6)bn=a1dn-1=-5·(55)n-14.设这四个数为aaqaqaqa2,,,则36)3(216·aaqaqaaqaqa②①由①，得a3=216,a=6③③代入②，得3aq=36,q=2∴这四个数为3，6，12，185、∵a1＋a7=2a4，∴3a4=a1＋a4＋a7=15，a4=5．——3分∵a2a4a6=45，∴a2a6=9．——4分设｛an｝的公差为d，则（a4－2d）（a4＋2d）9，即（5－2d）（5＋2d）=9，∴d=±2．——7分因此，当d=2时，an=a4＋（n－4）d=2n－3，——9分当d=－2时，an=a4＋（n－4）d=－2n＋13，6、∵S3=S11，∴3a1＋dad21011112231．——3分又a1=13，∴8×13＋52d=0解得d=－2．——5分∴an=a1＋（n－1）7、d=－2n＋15．——7分由.0,01nnaa即015)1(20152nn，解得213≤n≤215.由于Nn，故n=7．——10分∴当n=7时，Sn最大，最大值是492267137267717daS．——13分