搜索
4二次函数性质的再研究(一)时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)1．抛物线f(x)＝－x(x－2)的顶点坐标和对称轴方程分别是()A．(1,1)，x＝－1B．(1,1)，x＝1C．(－1,1)，x＝1D．(－1,1)，x＝－1答案：B解析：∵f(x)＝－x(x－2)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴函数f(x)的图象的顶点坐标为(1,1)，对称轴方程为x＝1.故选B.2．函数y＝2x2－8x在[－4,4]上的最小值为()A．－8B．－16C．64D．32答案：A解析：由题，可知函数y＝2x2－8x＝2(x－2)2－8的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，又2∈[－4,4]，所以在x＝2处取得最小值－8.故选A.3．若函数f(x)＝－2x2－mx＋3满足对于任意实数x，都有f(3＋x)＝f(3－x)，则m＝()A．－2B．12C．－12D．2答案：C解析：由f(3＋x)＝f(3－x)，可知函数f(x)＝－2x2－mx＋3的图象的对称轴为直线x＝3，即－m4＝3，解得m＝－12.故选C.4．如果函数y＝8x2－2kx＋13在[2,12]上是单调函数，则实数k的取值范围为()A．(－∞，16]B．[96，＋∞)C．(16,96)D．(－∞，16]∪[96，＋∞)答案：D解析：抛物线y＝8x2－2kx＋13的对称轴为直线x＝k8，若函数y＝8x2－2kx＋13在[2,12]上是单调函数，则k8≤2或k8≥12，所以k≤16或k≥96.故选D.5．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论：①b24ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5ab.其中正确的是()A．②④B．①④C．②③D．①③答案：B解析：因为函数图象与x轴交于两点，所以b2－4ac0，即b24ac，①正确；函数图象的对称轴为直线x＝－1，即－b2a＝－1，即2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y0，即a－b＋c0，③错误；又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，④正确．故选B.6．二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x＋2)，又f(0)＝3，f(2)＝1，若在[0，m]上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是()A．(0，＋∞)B．[2，＋∞)C．(0,2)D．[2,4]答案：D解析：二次函数f(x)关于x＝2对称，画出图像，知m∈[2,4]．二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)7．若f(x)＝2x2＋2(a＋2)x＋5，x∈[a，b]的图象关于直线x＝4对称，则b＝________.答案：18解析：因为f(x)＝2x2＋2(a＋2)x＋5，x∈[a，b]的图象关于直线x＝4对称，则a＋b＝8，－a＋22＝4，解得a＝－10，b＝18.8．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的两交点为A、B，顶点为C，则△ABC的面积是________．答案：8解析：令y＝0，则－x2－2x＋3＝0解得：x1＝1，x2＝－3.所以两交点坐标为(－3,0)，(1,0)．∵y＝－x2－2x＋3＝－(x2＋2x＋1)＋4＝－(x＋1)2＋4∴C点的坐标为(－1,4)．∴S△ABC＝12×4×4＝8.9．已知关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40对于x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．答案：(－2,2]解析：设f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4.解法一：当a＝2时，f(x)＝－40恒成立；当a≠2时，f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－40对x∈R恒成立，即f(x)有最大值且最大值小于零，即a－20fx＝－a－20，解得－2a2.综上，知a的取值范围是(－2,2]．解法二：当a＝2时，不等式显然对x∈R恒成立；当a≠2时，若不等式成立，即f(x)0对x∈R恒成立，必有a－20a－2＋a－，解得－2a2.综上，得a的取值范围是(－2,2]．三、解答题：(共35分，11＋12＋12)10．已知函数y＝f(x)＝－12x2－3x－52.(1)求这个函数的顶点坐标和对称轴方程；(2)已知f(－72)＝158，不直接计算函数值，求f(－52)的值；(3)不直接计算函数值，试比较f(－14)与f(－154)的大小．解：y＝－12x2－3x－52＝－12(x＋3)2＋2.(1)这个二次函数的顶点坐标和对称轴方程分别为(－3，2)和x＝－3.(2)∵f(－72)＝f(－3－12)＝f(－3＋12)＝f(－52)．∴f(－52)＝158.(3)∵f(－154)＝f(－3－34)＝f(－3＋34)＝f(－94)．又－14，－94∈[－3，＋∞)，∵a＝－12＜0，∴y＝f(x)在[－3，＋∞)上是单调递减的．∵－14＞－94，∴f(－14)＜f(－94)，即f(－14)＜f(－154)．11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y＝－12x2＋2x＋3的图象的形状相同，开口方向相反，与直线y＝x－2的交点坐标为(1，n)和(m,1)，求这个二次函数的解析式．解：∵y＝ax2＋bx＋c的图象与y＝－12x2＋2x＋3的图象的形状相同，开口方向相反，∴a＝12，则y＝12x2＋bx＋c.又(1，n)，(m,1)两点均在直线y＝x－2上，∴n＝1－21＝m－2⇒m＝3n＝－1，即点(1，－1)和(3,1)均在二次函数y＝12x2＋bx＋c的图象上．∴－1＝12＋b＋c1＝92＋3b＋c，解得b＝－1c＝－12.∴所求二次函数的解析式为y＝12x2－x－12.12．f(x)＝x2－4x－4，x∈[t，t＋1]，t∈R，求：(1)f(x)的最小值g(t)的解析式；(2)g(t)的最小值．解：(1)∵f(x)＝(x－2)2－8，∴f(x)的对称轴是直线x＝2.当2∈[t，t＋1]，即t≤2≤t＋1时，1≤t≤2，g(t)＝f(2)＝－8；当2＞t＋1，即t＜1时，f(x)在[t，t＋1]上随x增大f(x)减小．∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.当t＞2时，f(x)在[t，t＋1]上随x增大f(x)增大，∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4.综上可得g(t)＝t2－2t－7，t＜1，－8，1≤t≤2，t2－4t－4，t＞2.(2)当t＜1时，g(t)＝t2－2t－7＝(t－1)2－8＞－8；当1≤t≤2时，g(t)＝－8；当t＞2时，g(t)＝t2－4t－4＝(t－2)2－8＞－8，则g(t)的最小值是－8.