成考专升本高等数学(二)重点及解析(精简版)

1高等数学（二）重点知识及解析（占80分左右）Ⅰ、函数、极限一、基本初等函数(又称简单函数)：（1）常值函数：yc（2）幂函数：ayx（3）指数函数：xya(a〉0,1)a且（4）对数函数：logayx(a〉0,1)a且（5）三角函数：sinyx，cosyx，tanyx，cotyx（6）反三角函数：arcsinyx，arccosyx，arctanyx，cotyarcx二、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。例如：lncosyx是由lnyu，cosux这两个个简单函数复合而成.例如：3arctanxye是由arctanyu，vue和3vx这三个简单函数复合而成.该部分是后面求导的关键！三、极限的计算1、利用函数连续性求极限（代入法）：对于一般的极限式（即非未定式），只要将0x代入到函数表达式中，函数值即是极限值，即00lim()()xxfxfx。注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关，即limCC。（2）该方法的使用前提是当0xx的时候，而x时则不能用此方法。例1：lim44x，1lim33x，limlg2lg2x，6limx，例2：220310301lim1101xxxx例3：2tan(1)tan(21)limtan1121xxx（非特殊角的三角函数值不用计算出来）2、未定式极限的运算法（1）对于00未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将0x代入后函数值即是极限值。例1：计算239lim3xxx.………00未定式，提取公因式2解：原式=33(3)(3)limlim(3)63xxxxxx例2：计算22121lim1xxxx.………00未定式，提取公因式解：原式=211lim11xxxx=11lim1xxx=002（2）对于未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。例1：计算23lim31nnn………未定式，分子分母同时除以n解：原式32202lim13033nnn………无穷大倒数是无穷小例2：计算232321lim25xxxxx.………未定式，分子分母同除以3x解：原式=233321lim152xxxxxx=002………无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是23、利用等价无穷小的代换求极限（1）定义：设和是同一变化过程中的两个无穷小，如果lim=1，称与是等价无穷小，记作～.（2）定理：设、'、、'均为无穷小，又～'，～'，且'lim'存在则lim='lim'或''limlim（3）常用的等价无穷小代换：当0x时，sinx～x,tanx～x例1：当0x时，sin2x～2x，tan(3)x～3x例2：极限0sin2lim5xxx=02lim5xxx=02lim5x=25………sin2x用2x等价代换例3：极限0tan3limxxx=03limxxx=0lim33x………tan3x用3x等价代换3Ⅱ、一元函数的微分学一、导数的表示符号（1）函数()fx在点0x处的导数记作：'0()fx，0'xxy或0xxdydx（2）函数()fx在区间（a,b）内的导数记作：'()fx，'y或dydx二、求导公式（必须熟记）（1）'()0c（C为常数）（2）'1()xx（3）'()xxee（4）'1(ln)xx（5）'(sin)cosxx（6）'(cos)sinxx（7）'21(arcsin)1xx（8）'21(arctan)1xx例：1、3x’=23x2、1'212xx3、'sin6=04、'05、''23212xxx6、'1x三、导数的四则运算运算公式（设U，V是关于X的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的U和V即可，代入后用导数公式求解.）（1）'''()uvuv（2）'''()uvuvuv特别地''()CuCu（C为常数）（3）'''2()uuvuvvv例1：已知函数43cos2yxx，求'y.解：'y=''4'3cos2xx=343sin0xx=343sinxx例2：已知函数2()lnfxxx，求'()fx和'()fe.4解：'()fx=''22lnlnxxxx=212lnxxxx=2lnxxx所以'()fe=2ln23eeeeee（注意：lne=1,ln1=0）例3：已知函数2()1xfxx，求'()fx.解：'()fx=''2222111xxxxx=222121xxxx=22211xx四、复合函数的求导1、方法一：例如求复合函数2sinyx的导数.（1）首先判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的.如2sinyx由sinyu和2ux这两个简单函数复合而成（2）用导数公式求出每个简单函数的导数.即dydu=cosu，dudx=2x（3）每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量x替代回去.∴dydydudxdudx=2xcosu=2x2cosx2、方法二（直接求导法）：复合函数的导数等于构成该复合函数的简单函数导数的乘积。如果对导数公式熟悉，对复合函数的过程清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导.例1：设函数cos(3)yx，求'y.解：'y='(3)coxx=sin(3)x·'(3)x=sin(3)x·(3)=3sin(3)x例2：设函数lnxye，求'y.解：'y='lnxe=lnxe·'(ln)x=1xlnxe注意：一个复合函数求几次导，取决于它由几个简单函数复合而成。五、高阶导数1、二阶导数记作：''y，''()fx或22dydx我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数.2、求法：（1）二阶导数就是对一阶导数再求一次导5（2）三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导例1：已知5sinyx，求''y.解：∵'y=5cosx，∴''y=5sinx例2：已知2xye，求0''xy.解：∵'y=2xe'2x=22xe，∴''y=22xe'2x=42xe即0''xy=4六、微分的求法：（1）求出函数()yfx的导数'()fx.（2）再乘以dx即可.即'()dyfxdx.例1：已知2lnyx，求dy.解：∵'y='2lnx='221xx=212xx=2x∴dy=2xdx例2：设函数4cosyxx，求dy.解：∵'y=''44coscosxxxx=344cossinxxxx∴dy=344cossinxxxxdx6Ⅲ、二元函数的微分学一、多元函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多元函数．．．．。其自变量的变化范围称为定义域．．．，通常记作D。例如：二元函数通常记作：(,)zfxy，(,)xyD二、二元函数的偏导数1、偏导数的表示方法：（1）设二元函数(,)zfxy，则函数z在区域D内对x和对y的偏导数记为：zx，'(,)xfxy，'xz；zy，'(,)yfxy，'yz（2）设二元函数(,)zfxy，则函数z在点00,xy处对x和对y的偏导数记为：00,xyzx，'00,xfxy，00',xxyz；00,xyzy，'00,yfxy，00',yxyz；2、偏导数的求法（1）对x求偏导时，只要将y看成是常量，将x看成是变量，直接对x求导即可.（2）对y求偏导时，只要将x看成是常量，将y看成是变量，直接对y求导即可.如果要求函数在点00,xy处的偏导数，只要求出上述偏导函数后将0x和0y代入即可.例1：已知函数322zxyyx，求zx和zy.解：zx=2232xyy，zy=34xxy例2：已知函数2sin2zxy，求zx和zy.解：zx=2sin2xy，zy=22cos2xy三、全微分1、全微分公式：函数(,)zfxy在点(,)xy处全微分公式为：zzdzdxdyxy2、全微分求法：（1）、先求出两个一阶偏导数zx和zy.（2）、然后代入上述公式即可.7例1：设函数2sin()31zxyxy，求dz.解：∵zx=cos()6yxyx，zy=cos()1xxy∴cos()6cos()1zzdzdxdyyxyxdxxxydyxy例2：设函数2xyze，求dz.解：∵zx=22xye，zy=2xye∴222xyxyzzdzdxdyedxedyxy四、二阶偏导的表示方法和求法：（1）()zxx=22zx=''(,)xxfxy=''xxz……两次都对x求偏导（2）()zyx=2zxy=''(,)xyfxy=''xyz……先对x求偏导，再对y求偏导（3）()zxy=2zyx==''(,)yxfxy=''yxz……先对y求偏导，再对x求偏导（4）()zyy=22zy=''(,)yyfxy=''yyz……两次都对y求偏导可见二元函数的二阶偏导共四种．．．，它们都是,xy的函数。在求二阶偏导的时候一定要注意对变量的求导次序．．．．（写在符号前面的变量先求偏导）.例1：设函数32331zxyxyxy，求22zx，2zxy，2zyx和22zy.解：∵zx=22333xyyy，zy=3229xyxyx得22zx=26xy，2zxy=22691xyy，2zyx=22691xyy，22zy=3218xxy例2：设函数coszyx，求22zx，2zxy.解：∵zx=sinyx得22zx=cosyx，2zxy=sinx8Ⅳ、一元函数的积分学一、原函数的定义：设()Fx是区间I上的一个可导函数，对于区间I上的任意一点x，都有'()()Fxfx，则称()Fx是()fx在区间I上的一个原函数.例1：'(sin)cosxx，因此sinx是cosx的一个原函数，cosx是sinx的导数.由于'(sin)cosxcx，可见只要函数有一个原函数，那么他的原函数就有无穷多个.例2：设()fx的一个原函数为1x，求'()fx.解：因为1x是()fx的一个原函数，即()Fx=1x，所以()fx='()Fx='1x=21x.得'()fx='21x=32x（注：11xx）二、不定积分（一）、定义：我们把()fx的所有原函数称为()fx在区间I上的不定积分，记作：()()fxdxFxC（其中'()()Fxfx）注意：不定积分是原函数的的全体，因此计算结果常数．．C．勿忘．．！（二）、不定积分的性质〈1〉()()()()fxgxdxfxdxgxdx〈2〉()()kfxdxkfxdx（其中k为常数）（三）、基本积分公式（和导数公式一样，必须熟记）〈1〉0dxC〈2〉kdxkxC（k为常数）〈3〉11xxdxC(1)〈4〉1lndxxCx〈5〉xxedxeC〈6〉cossinxdxxC〈7〉sincosxdxxC〈8〉2arcsin1dxxCx〈9〉2arctan1dxxCx例1：33dxxC2sin-2cosxdxxC9434xxdxC211dxCxx