必修一(二次函数与幂函数)

山高人为峰，努力定成功！第1页共10页金牌数学高一(必修一)专题系列之二次函数与幂函数1．二次函数的基本知识(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R.(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x＝，顶点坐标是.①当a＞0时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当x＝－b2a时，f(x)min＝4ac－b24a；②当a＜0时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当x＝－b2a时，f(x)max＝4ac－b24a.③二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)当Δ＝b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|＝|x1－x2|＝Δ|a|.(3)二次函数的解析式的三种形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋h(a≠0)；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(4)二次函数y＝f(x)对称轴的判断方法：①对于二次函数y＝f(x)对定义域内x1，x2，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝x1＋x22；②对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝a(a为常数)．(5)与二次函数有关的不等式恒成立问题：①ax2＋bx＋c＞0，a≠0恒成立的条件是a＞0，b2－4ac＜0；山高人为峰，努力定成功！第2页共10页②ax2＋bx＋c＜0，a≠0恒成立的条件是a＜0，b2－4ac＜0.2．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝21xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}续表值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)时，增，x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减，x∈(－∞，0)时，减定点(0,0)，(1,1)(1,1)3.函数奇偶性3.1奇函数：.3.2偶函数：.题型一：选择题例1.【烟台】幂函数y＝f(x)的图象经过点(27，13)，则f(18)的值为()A．1B．2C．3D．4山高人为峰，努力定成功！第3页共10页拓展变式练习1.【理】设函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A．(0,1)B．(2,3)C．(1,2)D．(3,4)2.函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝()A．2B．3C．4D．53.幂函数f(x)＝xα满足x＞1时f(x)＞1，则α满足条件()A．α＞1B．0＜α＜1C．α＞0D．α＞0且α≠14.幂函数的图象过点(2，14)，则它的单调递增区间是()A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，＋∞)题型二：填空题例2.已知幂函数f(x)＝21x若f(a＋1)f(10－2a)，则a的取值范围是___________．拓展变式练习1.若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，2)，则f(25)的值是___________．2.设幂函数y＝xα的图象经过点(8,4)，则函数y＝xα的值域是___________．3.二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2＝___________．4.已知221)(xxxf，那么)41()4()31()3()21()2()1(fffffff＝___________．题型三：解答题例3.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝fx，x＞0，－fx，x＜0.若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．（Ⅰ）求F(x)的表达式；（Ⅱ）当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．山高人为峰，努力定成功！第4页共10页拓展变式练习1.已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．2.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．3.【文】已知函数f(x)＝2x－xm，且f(4)＝－72.（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．山高人为峰，努力定成功！第5页共10页4.函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m的值．高考题库【甘肃】已知定义域为R的函数12()22xxbfx是奇函数。（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）判断函数fx的单调性;（Ⅲ）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围．山高人为峰，努力定成功！第6页共10页一、选择1.下列函数中是幂函数的是()A．y＝2x2B．y＝1x2C．y＝x2＋xD．y＝－1x2.设函数()(21)fxaxb是R上的减函数，则有()A．12aB．12aC．12a≥D．12a≤3．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．下列结论中，正确的是()①幂函数的图象不可能在第四象限②α＝0时，幂函数y＝xα的图象过点(1,1)和(0,0)③幂函数y＝xα，当α≥0时是增函数④幂函数y＝xα，当α0时，在第一象限内，随x的增大而减小A．①②B．③④C．②③D．①④5.函数265yxx的值域为()A．0,2B．0,4C．,4D．0,二、填空题6.若幂函数y＝f(x)的图象经过点9，13，则f(25)＝___________．7.已知点(2，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点－2，12在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝___________．8.若f(x)＝ax＋1x－1在区间(－∞，1)上是减函数，则a的取值范围是___________．山高人为峰，努力定成功！第7页共10页9.若)(xf是偶函数，其定义域为,，且在,0上是减函数，则)252()23(2aaff与的大小关系是___________．10.已知5)2(22xaxy在区间(4,)上是增函数，则a的范围是___________．11.设()fx是奇函数，且在(0,)内是增函数，又(3)0f，则()0xfx的解集是___________．12.已知3()4fxaxbx其中,ab为常数，若(2)2f，则(2)f的值等于___________．13.已知(0)1,()(1)()ffnnfnnN，则(4)f___________．14.设函数)(xfy是定义在R上的减函数，并且满足)()()(yfxfxyf，131f，（1）求)1(f的值，（2）如果2)2()(xfxf，求x的取值范围.15.已知函数()fx的定义域是),0(，且满足()()()fxyfxfy,1()12f,如果对于0xy,都有()()fxfy,（1）求(1)f；（2）解不等式2)3()(xfxf.山高人为峰，努力定成功！第8页共10页16.已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－m3(3－2a)－m3的a的范围．家校互动--致力于学生全面发展教师评定1、学生上次作业评价O好O较好O一般O差2、学生本次上课情况评价O好O较好O一般O差作业布置教师寄语聪明的人，今天做明天的事；懒惰的人，今天做昨天的事；糊涂的人，把昨天的事也推给明天。愿你做一个聪明的孩子！愿你做一个时间的主人！教师签字：家长意见家长签字：日期：年月日山高人为峰，努力定成功！第9页共10页课堂过手训练1.函数()yfx是定义在区间(0,)上的单调增函数，且2(2)(15)fmfm，求m的取值范围。2.已知函数()yfx是定义在(2,2)上的减函数，若(1)(21)fmfm，实数m的取值范围。教师点评：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.山高人为峰，努力定成功！第10页共10页