初中数学八年级培优竞赛第14讲-从勾股定理谈起

第14讲从勾股定理谈起到底是什么使我们感到一个解法、一个证明优美呢，那就是各个部分间和谐、对称，恰到好处的平衡。——庞加莱勾股定理揭示了直角三角形三边这间的关系，大约在公元前1100多年前，商高已经证明了普通定义下的勾股定理，国外把勾股定理称为“毕达哥拉斯定理”.勾股定理是平面几何中一个重要定理,其广泛应用体现在,勾股定理是现阶段线段计算、证明线段平方关系的主要方法；运用勾股定理的逆定理，通过计算也是证明直线垂直位置关系的一种有效手段。直角三角形是一类特殊的三角形，有着丰富的性质：两锐角互余（角的关系），勾股定理（边的关系），30°所对的直角边等于斜边的一半（边的关系），这些性质在求线段的长短、证明线段倍分关系，证明线段的平方关系等方面有广泛的应用。例题求解【例1】（1）Rt△ABC三边的长分别是x,x+1和5，则三角形的周长=（第十九届“希望杯”邀请赛试题）(2).已知Rt△ABC的两直角边AC=5，BC=12，D是BC上的一点，当AD是∠A的平分线时，则CD=（太原市竞赛题）思路点拨：对于（1）应分类讨论；对于（2），能在Rt△ACD中求出CD吗？从角平分线性质入手链接一些著名问题都可归结为勾股定理证明。1．斯坦纳定理如图①，若P为△ABC内任意一点，作PD⊥BC于D，PE⊥CA于E，PF⊥AB于F，则AF2+BD2+CE2=AE2+CD2+BF22．帕普斯定理（中线公式）如图②，a、b、c是△ABC三边长，ma是△ABC的边BC上的中线,则ma2=41（2b2+2c2-a2）【例2】如图：四边形ABCD中，DC∥AB,BC=1，AB=AC=AD=2，则BD的长为（）A．14B.15C.32D.23(呼和浩特市中考试题)思路点拨通过作垂线构造直角三角形【例3】如图P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB的度数（天津市竞赛题）思路点拨不可能简单的由角的关系推出∠ACB的度数，解本例的关建是由条件构造出含30°角的直角三角形。【例4】已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠MCN=45°（1）如图①，当M、N在AB上时，求证：MN2=AM2+BN2。（2）如图②，将∠MCN绕C点旋转，当M在AB的延长线上时，上述结论是否任然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（天津市中考题）思路点拨MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，须转化为直角三角形，可将△ACM沿直线CM对折，得△DCM，连接DN，只需证DN=BM，∠DMN=90°就可以了，或将△ACM（或△BCM）旋转。有这种培优竞赛讲义一整套小学初中的含答案最新的需要的可以联系我46~8453~607微信13699~77~1074答案找我要【例5】一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长：若不存在，说明理由。（北京市竞赛题）分析：假设存在符合条件的直角三角形，它的三边长为abc其中c边为斜边，则2222abcbacba,于是将存性问题的计论转化为求方程组的解【例6】小明遇到这样一个问题：“如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．”分析时，小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个正方形（无缝隙不重叠），则这个正方形的边长为_______（2）求正方形MNPQ的面积．（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=，则AD的长为_______．试题分析：(1)四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形的面积为a2；（2）如图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积；（3）参照小明的钥匙思路，对问题作同样的等积变形，即可求解问题.学力训练基础夯实1.（1）．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将这四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（河北省中考题）（2）．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣，1995年希腊发行了一枚以勾股图为背景的邮票，所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理，在如图所示的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，那么△PQR的周长等于（温州市中考题）2.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，连接AC，∠DAC=∠BAC．若BC=4cm，AD=5cm，则AB=______cm3．如图，在一张长为8cm、宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积是cm2．4．如图，等腰直角三角形ABC直角边长为1，以它的斜边上的高AD为腰作第一个等腰直角三角形ADE：再以所作的第一个等腰直角三角形ADE的斜边上的高AF为腰作第二个等腰直角三角形AFG：……以此类推，这样所作的第n个等腰直角三角形的腰长为（齐齐哈尔市中考题）5.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（）cm。（泰安市中考题）A．425B．322C．47D。356．如图，在凸多边形ABCD中，∠B=∠D=90°∠C=120°，AB=3，BC=3，则AD=（）A．3B．3C．23D．33（四川省竞赛题）7.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（）A．10B．C．D．8．如图所示的方格纸中，点A、B、C都在方格纸的交点，则∠ACB=（）A．120°B．135°C．150°D．165°（“希望杯”邀请赛）9．如图，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，BC=4，CD=23，求AC的长。（河南省竞赛题）10．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为______三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为______三角形．（2）猜想，当a2+b2______c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2______c2时，△ABC为钝角三角形．（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．11．如图，在在Rt△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC的中点，DE⊥DF，求证：222CFBEEF。能力拓展12．在四边形ABCD中，∠ABC=∠CDA=90°，AD=DC=5，AB=7，BC=1，BD的长为13.如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除B、C点外的任意一点，则AP2+PB·PC=.（第十九届“希望杯”邀请赛试题）14.两张大小相同的纸片，第张都分成七个大小相同的矩形，放置如图所示，重合的顶点记为A，点C在另一张纸的分隔线上，若BC=28，则AB的长为（2011年北京市竞赛题）15.如图，在等腰Rt△ABC中AB=AC=5P是△ABC内一点，且PA=5，PC=5，则PB=（全国初中数学联赛题）16.在锐△ABC中，已知某两边a=1,b=3,那么第三边的变化范围是（）A.2＜C＜4B.2＜C≤3C.2＜C＜10D.8＜C＜10(祖冲之杯邀请赛试题)17.若将三条高线分别为x，y，z的三角形记为（x，y，z）则在以下四个三角形（6，8，10），（8，15，17），（12，15，20）（20，21，29）中直角三角形的个数为（）A.1B.2C.3D.4（“希望杯”邀请赛试题）18.△ABC的内角A和B都是锐角，CD是高，若BDAD=(BCAC)2，则△ABC是（）A.直角三角形B等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形（“希望杯”邀请赛试题）19.在平面直角坐标系中有两点A（-1，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有（）A．3个B．4个C．5个D．6个20.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD，求证：BD2=AB2+BC2。（北京市竞赛题）21.如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=CD=h.求证：(1)222111hba；（2）hcba；（3）以hchba、、为边的三角形是直角三角形。22．如图，设P是凸四边形ABCD内的一点，过P分别作AB、BC、CD、DA的垂线；垂足分别为E、F、G、H.已工AH=3,DG=5,CF=6,FB=4,且BE-AE=1,求四边形ABCD的周长.（上海市竞赛题）综合创新23．32+42=52的联想3、4、5是最简单的勾股数,这表明三边为连续整数的直角三角形存在,并且只有一个.问：【为什么?】由此,研究边长为连续整数的三角形.：（1）三边长为连续整数的钝角的三角形存在吗？如果存在有多少个？（2）锐角三角形存在吗?如果存在有多少个？（3）波格达洛夫.别林斯基是俄国著名的画家。他的名画《难题》上画的一位老师耐心启发学生用口算很快求出下式结果题中隐藏着五个连续自然数平方的某种关系若能联想到32+42=52则好奇心悄然而至：是否有更一般的数学秘密隐藏其中？24．已知直角三角形的边长为整数，周长为30，求他的斜边长？