《高等数学》第1章函数极限与连续PPT课件

第1章函数、极限与连续知识目标了解函数的性质、极限的性质、无穷小的性质、闭区间上连续函数的性质；理解函数的概念、极限的概念、无穷小与无穷大的概念、函数连续性的概念；会求函数的定义域、会利用等价无穷小求极限、会求间断点并判断其类型；掌握复合函数与初等函数的概念、极限的运算法则；熟练掌握两个重要极限、求极限的方法.能力目标培养学生抽象思维能力和计算能力，利用极限思想解决实际问题.德育目标通过函数概念的学习，可对学生进行运动变化、对立统一观点的教育.通过极限概念的学习，可使学生理解有限和无限的辩证关系，对学生进行辩证唯物主义教育.1.1函数函数是高等数学的主要研究对象，函数一词，是微积分的奠基人——德国的哲学家兼数学家莱布尼兹首先采用的.1837年，德国数学家狄利克雷抽象出了人们易于接受且较为合理的函数概念.1.1.1函数及其性质引例汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，那么行驶里程与时间有什么关系？.,).0(60:,,即是函数概念的实质这种对应关系和变量　　　　　可得依题意小时行驶时间为千米设行驶路程为StttStS解析：定理.),(|.)(,)(,,,.,,.),(,,,,000000值域函数值因变量自变量定义域函数称为函数的集合记作处的在为则称与之对应有唯一确定的实数通过对应法则如果对于确定的称为称为称为函数的其中记作上的是定义在数集则称之对应与都有唯一确定的实数按照一定的对应法则的每一个数中如果对于数集是一个非空实数集是两个变量和设DxxfyyYxfyxxfyyyfDxyxDDxxfyDfyfxDDyx函数的表示法).0,,(;1kbkbkxy且为常数一次函数　变量的函数关系用一个等式来表示两个如解析法.2三角函数表量的函数关系；列出表格来表示两个变如列表法..3二次函数图像量之间的关系用函数图像表示两个变如图像法函数的定义及表示法反函数4几种常见函数简介分段函数1隐函数2参数方程确定的函数3.有不同的表达式的函数在定义域的不同范围内.0),(确定的函数由二元方程yxF显函数.的函数称为通常将形如)(xfy.)()()(之间的函数关系与来表示由参数方程yxRIttytx.,,)(,)(,,.,)(1DMxfyyxfxDyMMxDxfy值域为其定义域为为其反函数则称使得中都有唯一的数数集中的每一个数若对于数集值域为其的函数上的为定义域在数集设注注只有严格单调的函数才有反函数.例题).5(),0(),3(,0,10,00,1)(fffxxxxf求设函数1.解:.1)5(,,05;0)0(,,01)3(,,03fxfxfx得代入第三个解析式得代入第二个解析式；得代入第一个解析式.,2321并确定反函数的定义域的反函数求函数xey2.解:).,23(),32ln(,,).32ln(32反函数的定义域为：因此得到函数的反函数互换将上式中的由原式可得：xyyxyxyex函数的几种特性奇偶性1周期性2.,.)(,)()(,,)(,周期周期函数称为函数的正数上述关系式成立的最小使是则称且都有对于任意如果函数为一个不为零的常数设TxfyxfTxfDTxDxxfyT.,,)(,)()(,)(,)()(,)(非奇非偶函数奇函数偶函数称为函数的函数即不是奇函数也不是偶图像关于原点对称；为则称若轴对称；图像关于为则称若都有：对任意关于原点对称在定义域设函数xfyxfxfyxfyxfxfDxDxfy.2cossin为周期的周期函数都是以和函数xyxy例有界性4单调性3.),(,),()(,)()(),(,),()(,)()(:,),()(212121单调减少区间单调减少函数单调增加区间单调增加函数称为区间内为在区间则称若；称为区间内为在区间则称若都有对于任意内有定义在区间设函数babaxfyxfxfbabaxfyxfxfbxxabaxfy.)(,)(,)(,,,)(,)(无界有界上在则称在这样的正数；如果不存上在则称成立恒有使得对任意如果存在一个正数的定义域为设函数其的函数上的为定义域在数集设DxfyDxfyMxfDxMDxfyxDxfy.),0(,)0,(2上是增函数在上是减函数在函数xy例上是有界的；在其定义域函数),(sinxy例.),0(ln上是无界的在其定义域函数xy例题.2(3));1ln()((2));sin()((1).32xyxxxfxxxxf判断下列函数的奇偶性解:.),()()()(,22)()()3(;),()1ln(]1)()ln[()()2(),()sin()]sin())[(()()1(33122函数所以原函数是非奇非偶且因所以原函数是奇函数所以原函数是偶函数；xfxfxfxfxxxfxfxxxxxfxfxxxxxxxf1.1.2初等函数初等函数基本初等函数复合函数初等函数基本初等函数对数函数4常数函数1幂函数2指数函数3三角函数5反三角函数6).(),(,是已知常数其中cxcy).(),0(,是任意实数xxy).10(),(,aaxayx且).10(),0(,logaaxxya且；正弦函数),(,sinxxy；余弦函数),(,cosxxy；正切函数Zkkxxy,2,tan；余切函数Zkkxxy,,cot；不做详细讨论正割函数)(cos1secxxy).(sin1csc不做详细讨论余割函数xxy；反正弦函数]1,1[,arcsinxxy；反余弦函数]1,1[,arccosxxy；反正切函数),(,tanarcxxy).,(,otarcxxcy反余切函数复合函数.,)()()]([,)()(中间变量复合函数称为其中的复合而成与是由则称函数空的值域的交集非的定义域与函数设函数uxuufyxfyxuufy.2arcsin2复合函数就不能复合成一个与函数xuuy例注不是任何两个函数都能复合成一个复合函数.利用复合函数不仅能将若干个简单的函数复合成一个函数,还可以把一个复杂的函数分解成几个简单的函数.例题.12的复合函数与求函数xuuy1.解:].1,1[,1:,122xxyuyxu　　　得复合函数代入到将.)1(sin2是由哪些函数复合成的指出复合函数xy2.解:.1sin,2复合而成，，　　　　　　函数复合而成，即：该函数由三个基本初等由题可知xvvuuy初等函数都是初等函数；等函数)2arcsin(,sin35ln2xyxxyx例.数而分段函数不是初等函.,,初等函数称为函数能用一个解析式表示的并复合限次四则运算和有限次由基本初等函数经过有1.1.3函数关系的建立某种旅行帽的沿接有两个塑料帽带,其中一个塑料帽带上有7个等距的小圆柱体扣,另一个帽带上扎有七个等距的扣眼,用第一个扣分别去扣不同扣眼所测得帽圈直径的有关数据(单位:cm)如下表:.41,01.0,01.094.6895.68,95.6896.21:,96.2124.23432.0,42.24.2332.0,24.2332.060.22292.22),0(.,1扣时是合适的扣扣到第故将第很小因而　　　　　　　　　　绳长为时当故函数关系式为：依题意可得：设系定近似函数关故确象接近成直线由散点图可知函数的图cmycyxxybkbkbkkbkxyy解析：例扣眼号数(x)1234567帽圈直径(y)22.9222.6022.2821.9621.6421.3221.001.求帽圈直径y与扣眼号数x之间的函数关系；2.小明的头围为68.94cm,他将第1个扣扣到第4号扣眼,你认为松紧合适吗?想一想.]2,1[,)0,1[,32)(3的定义域是什么？　　分段函数xxxxxf1.合成一个复合函数吗？任意两个函数都可以复2.1.2极限及其性质引例战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的棒头，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。把每天截后剩下部分的长度记录如下（单位:尺）第一天剩下1/2；第二天剩下1/22；第三天剩下1/23；…第n天剩下1/2n；…这样就得到一个数列1/2,1/22，1/23，…，1/2n…或{1/2n}.1.2.1极限的概念定义时函数的极限x.)()()(lim)(,,)(,xAxfAxfxfxAAxfxx或记作的时函数为则称的常数值无限趋近于某一确定且函数有定义函数的绝对值无限增大时如果当极限,.)(lim:,)(,,)(,0AxfxfxAAxfxxx记作的时函数为则称常数无限趋近于某一确定的且函数值有定义函数无限增大时且如果当极限.)(lim:,)(,,)(,0AxfxfxAAxfxxx记作的时函数为则称常数无限趋近于某一确定的且函数值有定义函数无限增大时且如果当极限例题.elimelim是否存在与判断xxxx解:.elime,0elim,0e,e不存在故时当；故时当的图象可知：观察xxxxxxxxxxoyxoyxye1定义.,).(lim,.,,该数列发散则称的极限不存在若数列或记作：收敛于此时也称数列的极限为数列则称常数无限接近于某一确定的数列无限增大时如果当nnnnnnnynAyAyAyyAAyn可得数列极限定义：整数的函数可以看成是自变量为正即数列可以写成数列.),,3,2,1)((,,,,21nnfyyyynn；即：常数列是收敛数列,limccn例;,021lim即：该数列是收敛数列nn.,)1(lim1即：该数列是发散数列不存在nn数列极限定义时函数的极限0xx.)()()(lim)(,)(,.)(00000xxAxfAxfxfxxAAxfxxxxfxx或　　　　　　　记作：的时函数为则称常数无限趋近于某一确定的时无限趋近于如果当的某去心邻域内有定义在点设函数极限,邻域.去心);邻域(的称为点开区间的称为点开区间00000000),(),(0),(xxxxxxxx;)(lim)(,)(,.)(00000AxfxxfAAxfxxxxxfxx记作：处的点在为则称常数无限趋近于某一确定的时限趋近于且无如果当定义的某去心邻域的左侧有在点设函数左极限,.)(lim)(,)(,.)(00000AxfxxfAAxfxxxxxfxx记作：处的点在为则称常数无限趋近于某一确定的时限趋近于且无如果当定义的某去心邻域的右侧有在点设函数右极限,.)(lim)(lim)(lim000AxfxfAxfxxxxxx由定义可得：注例题.)(lim),(lim),(lim,0,10,00,1)(000是否存在讨论设xfxfxfxxxxxxfxxx解:.)(lim)(lim)(lim.1)(lim,1)(lim00000不存在故，因观察函数的图象可知：xfxfxfxfxfxxxxxxoyxoy1xy1-11xy1.2.2极限的性质性质1（唯一性）唯一；那么这极限值存在如果AAxfxx,)(lim0性质2（局部有界性）性质3（局部保号性）性质4（夹逼定理）有界；的某个去心邻域内则在如果)(,)(lim00xfxAxfxx；或有的某个去心邻域内