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化存才云南师范大学数学学院，数学科学研究所，昆明（650092）E-mail：Cuncai-hua@sohu.com摘要：本文主要综合性地给出关于商品定价的几个数学模型，其中包括商品的浮动价格与二次需求函数模型，凸需求函数与多种价格并存的优化模型，价格的需求概率与需求风险模型，春运客票调价的微分方程动力学模型。将模型应用于分析春运中客运票价的政府调控政策，提出了一些建议。关键词：商品定价模型，需求风险模型，微分方程动力学模型，调控政策1.引言自从我国实行社会主义市场经济以来，经济发展蒸蒸日上，成绩喜人。但是，在发展的同时，出现许多热点经济问题为社会所关注，比如春运，旅游黄金周，房地产，金融证券与投资，教育的投资与商品化等。事实上，经济的过热和过冷发展都是不可取的，尤其是那些关系国计民生的公共商品经济。通过制定合理的宏观调控政策去解决热点经济问题是政府的重要工作。数学建模在解决热点商品经济问题和引导政府制定调控政策方面是大有可为的。近年来，我们以热点商品经济问题为背景，围绕商品的定价问题，建立了几个新的数学模型，并应用它们分析有关商品的经济问题。本文主要介绍商品的浮动价格与二次需求函数模型[1]，凸需求函数与多种价格并存的优化模型[2]，价格的需求概率与需求风险模型[3]，春运中客票调价的微分方程动力学模型，侧重地应用它们分析春运客票价的政府调控政策。2.商品的浮动价格与二次需求函数模型人们普遍认为，商品的高折扣价带来销售量的增加，低折扣价格则带来销售量的减少，从而商品的需求函数是一个单调减少的函数[4]。实际上，由于缺乏数学上的分析，故销售商在制定商品的折扣价格时人为的因素很大，而制定出的高低两极的价格往往不是最优价格，也难以得到消费者的认可。同时，大多数消费者对于折扣定价机制也是知之甚少的，他们在购买商品时常常处于被动的地位。从社会现象来说，一种商品在其供求矛盾十分突出时，其销售价格往往也需要考虑适当地向上浮动，但是这种涨价对于有些社会公共商品而言就是一个很敏感的社会问题，如在春运经济活动中的客运票价格，生活中的水电气价格等，此时就需要正确处理好相关的社会问题。为此，我们建立商品的浮动价格模型和二次需求函数模型，给出商品价格上浮和保持的条件，一种商品价格折扣定价策略。现设商品的批发价为q，在供求正常时，零售价格(标准价格)定为qp。在零售时，需求函数为)(pθ，非批发成本为C，销售纯利润为W，则有：.)()(CpqpW−−=θ(1)考虑商品购销中供求矛盾突出时的浮动价格。我们假设要确定的价格浮动率记为α，相应的需求量记为αθ，非批发成本记为αC，而产生的纯利润αW，则有：.)(αααθαCqpW−−=(2)1本课题得到云南省引进高层次人才工作经费(2003),云南省自然科学基金(2005A0026M)的资助。价格上浮和价格保持的条件在保证商品销售利润的前提下，在商品供大于求时，要下调α使需求量增加，薄利多销；在供小于求时，又要上调α使得需求量减少，少销多利，或者采取其他相应的措施保价供应。因此总的要求是θθα和WW≥α。于是，我们就有价格浮动率满足：.1mpCCpqpqαθθθαααα=−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+≥(3)如果在商品供求矛盾十分突出时采取的某些相应措施得当(比如增加销售网点，人员，运营车辆等)，那么应有CC≥α。于是，我们有价格上浮的充分条件和价格保持的必要条件：当))((θθαα−−≥−qpCC时，有1≥α，即价格必须上调，上调的最小浮动率为mα；反之，对于任何α，都有αααθαθθ)1())((−+−−≤−qpCC。特别地，要保持价格不变(1=α)，必须要求满足：))((θθαα−−≤−qpCC。2.2折扣定价策略对于商品价格下调的情况，称为折扣定价，α称为折扣率。现考虑折扣定价策略问题。注意到对于薄利多销的实际情况，我们可设CC=α。以pq=δ表示价格比。在折扣价格下，销售商需要多付出销售量为：θααθθαqpp−−=−)1(，由此而造成了销售的收益损失为：.)()1())(()(θααθθαqpqppqppWL−−−=−−=(4)通过选取标准价p和折扣率α，并使得销售的收益损失达到极小值，我们得到关系式：,)1(1222δδδα−−=−=(5)该式表明，存在与商品的销售量无关，而只与价格比δ有关的最大折扣率。通过进一步分析，还可知存在使商品需求最大的价格，记为0ip，可称为商品的标准价。2.3二次需求函数模型与利润最大价商品的销售至少可以定三个基本价格：最低价0p(接近于批发价)，最高价Mp(新批发商品的价格，政府指导价)和标准价0ip(如使销售量达到最大的价格)。由于需求量满足条件：当0ipp时，有0)(′pθ；当0ipp时，有0)(′pθ，故我们有：),()(0ppkpi−=′θ(6)其中0k是待定系数。在给定)(),(00MMPpθθθθ==之后，积分(6)后便得到：),)(2(21)(0000pppppkpi−−−+=θθ(7)其中))(2()(20000MMiMpppppk−−−−=θθ。式(7)就是一个二次需求函数模型。由(7)可见，当200Mippp+→时，有∞→)(pθ，这表明：采用最低价和最高价的平均价销售商品时，需求量将会增大。在二次需求函数模型下，由0)(=′pW可得利润最大价格为：.)3(2346313132*002022000qpppqpkqppiii+−+++++=θ(8)2.4春运中客运票价的政府调控政策建议在春运中，乘客多，运力有限是实际情况，我们可利用上述得到的价格上浮的充分条件、价格保持的必要条件和折扣价所带来的商品销售收益损失LW来分析客运票价的政府宏观调控政策。为此提出建议：如果LWCC≥−α，即在春运中客运企业投入的各种成本差超过了客运票价收入，面临亏损，那么政府就必须允许上调客运票价；相反，要保持客运票价不变，前提条件是在春运中客运企业投入的各种成本差低于客运票价收入。3.凸需求函数与多种价格并存的优化模型前面的二次需求函数模型推广为一般凸函数。在条件0)(′′pθ下，)(pθ是一个较为光滑的凸函数。假设)(pθ有一个极大值点0ip，则我们有：0)(0=′ipθ和).()()(0phpppi−=′θ(9)由0)()(00=′′iiphpθ知函数)(ph的选择是较为灵活的。如取kph−=)(为常数时，则我们得到前面的二次需求函数模型。积分(9)后可得到一般的凸需求函数：,)()()()(000dpphppppppi∫−+=θθ(10)其中0p为某一价格。利用Taylor展开，易知(10)在0ip附近有二次凸需求函数近似：].)[())((21)()(202000iiiippoppphpp−+−+=θθ(11)特别地，我们还可取如下形式的凸需求函数：.11)()()()(22022002)(2)(000⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−−−+=−−−−σσθθθθiippppiieepppp(12)当σ−||0ipp时，式(12)可以用一个二次凸函数作近似。可以证明，0ip是需求最大价，且是利润增长价格。又设*p为利润最大价，它满足0*)(ph，则有0*ipp≥，且*p是需求下降价格。在市场调节的条件下，商品常常需要针对不同的需求情况采取多种不同价格并存的销售方式。如机票有不同的折扣率，水按不同用途而确定不同的价，电价也类似。在凸需求函数下，我们可以很好地分析多种价格并存的优化问题。事实上，设商品的由小到大排列的1+M个价格Mppp,,,10Λ均是独立的决策变量，销售商分别按照这些价格销售时得到的销售量)(,),(),(1100MMpppθθθΛ也是独立函数，政府的最低限价与最高限价分别为00p与0Mp，商品的总量为G。考虑算术平均价格在需求最大价格0ip附近波动的最优定价问题，我们有如下的非线性规划模型：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++≥≥≥=++++≤≤≤≤≤−−=∑=.)()()(,0)(,,0)(,0)(,1,..,])()[(),,(1100110001001000001GpppppppMpppppppptsCpqpppWMaxMMMMiMMMMiiiiiMθθθθθθθΛΛΛΛΛ(13)上述优化模型需要借助于软件才能计算。但在以下三种简单的情况下是较容易求解的。(i)当忽略约束条件时，(13)就是一个函数极值问题，我们有如下结论：1)设)(,),(),(1100MMpppθθθΛ都是凸需求函数，01000,,,MpppΛ分别是它们的极大值，且0)(00=∑=Miiiidppθ，则01000,,,MpppΛ就是模型(13)的最优定价。2)设)()()()(10ppppMθθθθ====Λ是同一个凸需求函数，0ip是其极大值，而*0*10*00,,,MpppΛ是模型(13)的最优定价，则0*0*10*00,,,iMpppp≥Λ是需求下降价。(ii)当指定销售量)(,),(),(1100MMpppθθθΛ时，(13)是确定最优定价的线性规划模型。(iii)当指定价格Mppp,,,10Λ时，(13)是最优分配销售量的线性规划模型。春运中客运票价的调控政策建议利用多种价格并存的优化模型可分析春运中客运票价的政府调控政策。综合权衡春运中客运企业的利润和各类乘客的不同经济承受力，可提出建议：在春运中试行以大多数乘客所能承受的客运原票价作为基础，让票价适当上下浮动，以达到优化，适应各类乘客的需求。4.商品价格的需求概率与需求风险模型在商品经济中，商品的价格往往起着主导作用，如大型超市的商品价格(即所谓的平价)，航空机票的优惠价格等。商品的价格能否被消费者所接受是事先不能完全确定的，由此带来了销售量的随机性，这就表明商品的价格以一定的概率产生相应的需求量。因此不同的价格将导致不同的需求概率，从而也就必须要承担由于定价而引起的风险。如航空机票的每种优惠价格都会带来相应需求量的随机变化，直接导致其销售收益的好坏。近年来，我国采取“价格听证会”的法律形式处理过许多公共商品的定价问题，它从维护公共利益出发，兼顾经济和社会效益，能得到社会上多数消费者的认可。从数学上来解释，就是只接受一种合法制定的价格，即该价格的需求概率为100%，以这种价格交易商品是没有需求风险的。下面，我们主要从商品的需求因素出发去研究商品价格的概率和风险模型。4.1商品价格的需求概率分布和需求概率最大价格假设在赢利的条件下，销售商可制定出从小到大的1+M个商品价格Mppp,,,10Λ，在一定的时间内，销售商按这些价格销售时得到的销售量依次为:)(,),(),(10MpnpnpnΛ。记)()()(10MpnpnpnN+++=Λ，以p表示在供求关系正常时，商品的销售价格，)Pr(ipp=表示以价格ip销售商品的概率，则p是一随机变量。因为每种价格对应的销售量(需求量)反映了消费者对这种价格的认可程度，所以根据概率的频率定义，Npni)(刻划了商品能够按照价格ip交易的需求概率，于是我们有p服从如下的需求概率分布(见表1)：表1.价格p的离散型需求概率分布p0p1p2p…MpPrNpn)(0Npn)(1Npn)(2…NpnM)(易知，以立法形式固定的商品价格的概率分布是单点分布。由表1，我们可以按照需求概率最大的原则去选择下一次商品的价格为：ikkippmax0=，如果{}.)Pr(max)Pr(0iMikipppp===≤≤(14)由公式(14)所给出的商品销售价格0ip为需求概率最大价格。可以证明，*0ppi≤，其中*p表示利润最大价。在现实中，人们普遍接受了平价商品的购销方式，故商品的平价可带来需求的最大化，它促成了价格的从众性。因此，需求最大价可以理解为商品的平价。