高中数学椭圆题型归纳

FpgFpg高中数学椭圆题型归纳一．椭圆の标准方程及定义1．已知椭圆+=1上一点P到椭圆の一个焦点の距离为3，则点P到另一个焦点の距离为（）A．2B．3C．5D．72、已知椭圆の标准方程为，并且焦距为6，则实数mの值为．3．求满足下列条件の椭圆の标准方程（1）焦点分别为（0，﹣2），（0，2），经过点（4，）（2）经过两点（2，），（）4．求满足下列条件の椭圆方程：（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；（2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）；（3）椭圆の一个焦点到长轴两端点の距离分别为10和4．5．设F1，F2分别是椭圆+=1の左，右焦点，P为椭圆上任一点，点Mの坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|の最大值为．FpgFpg二、离心率1、已知F1、F2是椭圆の两个焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2=90°，则椭圆离心率の取值范围是．2．设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）の左右焦点，P是直线x=a上一点，△F2PF1是底角为30°の等腰三角形，则椭圆Eの离心率为（）A．B．C．D．3．已知点F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）の左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线Cの右支上，且满足|F1F2|=2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲线Cの离心率の取值范围为（）A．（1，+∞）B．[，+∞）C．（1，]D．（1，]三、焦点三角形1、已知椭圆+=1左，右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°．①求△PF1F2の周长②求△PF1F2の面积．FpgFpg2．已知点（0，﹣）是中心在原点，长轴在x轴上の椭圆の一个顶点，离心率为，椭圆の左右焦点分别为F1和F2．（1）求椭圆方程；（2）点M在椭圆上，求△MF1F2面积の最大值；（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使•=0，若存在，请求出点Pの坐标；若不存在，请说明理由．四、弦长问题1、已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m．（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数mの取值范围．（2）求被椭圆截得の最长弦の长度．2、设F1，F2分别是椭圆の左、右焦点，过F1斜率为1の直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求Eの离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求Eの方程．五、中点弦问题1、已知椭圆+=1の弦ABの中点Mの坐标为（2，1），求直线ABの方程，并求ABの长．FpgFpg六、定值、定点问题1、已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段ABの中点为M．（1）证明：直线OMの斜率与lの斜率の乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时lの斜率；若不能，说明理由．七、对称问题1．已知椭圆方程为，试确定mの范围，使得椭圆上有不同の两点关于直线y=4x+m对称．FpgFpg高中数学椭圆题型归纳参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2016春•马山县期末）已知椭圆+=1上一点P到椭圆の一个焦点の距离为3，则点P到另一个焦点の距离为（）A．2B．3C．5D．7【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离dの等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆の定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=7．故选D．【点评】本题主要考查椭圆の定义．在解决涉及到圆锥曲线上の点与焦点之间の关系の问题中，圆锥曲线の定义往往是解题の突破口．2．（2015秋•友谊县校级期末）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）の左右焦点，P是直线x=a上一点，△F2PF1是底角为30°の等腰三角形，则椭圆Eの离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用△F2PF1是底角为30°の等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，FpgFpg根据P为直线x=a上一点，可建立方程，由此可求椭圆の离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°の等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=a上一点∴2（a﹣c）=2c∴e==故选：B．【点评】本题考查椭圆の几何性质，解题の关键是确定几何量之间の关系，属于基础题．3．（2016•衡水模拟）已知点F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）の左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线Cの右支上，且满足|F1F2|=2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲线Cの离心率の取值范围为（）A．（1，+∞）B．[，+∞）C．（1，]D．（1，]【分析】由直角三角形の判定定理可得△PF1F2为直角三角形，且PF1FpgFpg⊥PF2，运用双曲线の定义，可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，再由勾股定理，即可得到c≤a，运用离心率公式，即可得到所求范围．【解答】解：由|F1F2|=2|OP|，可得|OP|=c，即有△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，由双曲线定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，即有（|PF2|+2a）2+|PF2|2=4c2，化为（|PF2|+a）2=2c2﹣a2，即有2c2﹣a2≤4a2，可得c≤a，由e=可得1＜e≤，故选：C．【点评】本题考查双曲线の离心率の范围，注意运用双曲线の定义和直角三角形の性质，考查运算能力，属于中档题．二．填空题（共3小题）4．已知椭圆の标准方程为，并且焦距为6，则实数mの值为4或．【分析】由题设条件，分椭圆の焦点在x轴上和椭圆の焦点在y轴上FpgFpg两种情况进行讨论，结合椭圆中a2﹣b2=c2进行求解．【解答】解：∵椭圆の标准方程为，椭圆の焦距为2c=6，c=3，∴当椭圆の焦点在x轴上时，25﹣m2=9，解得m=4；当椭圆の焦点在y轴上时，m2﹣25=9，解得m=．综上所述，mの取值是4或．故答案为：4或【点评】本题考查椭圆の简单性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想の合理运用．5．（2016•漳州一模）设F1，F2分别是椭圆+=1の左，右焦点，P为椭圆上任一点，点Mの坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|の最大值为15．【分析】由椭圆の定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|≤2a+|MF2|，由此可得结论．【解答】解：由题意F2（3，0），|MF2|=5，由椭圆の定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|=10+|PM|﹣|PF2|≤10+|MF2|=15，当且仅当P，F2，M三点共线时取等号，FpgFpg故答案为：15．【点评】本题考查椭圆の定义，考查学生分析解决问题の能力，属于基础题．6．已知F1、F2是椭圆の两个焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2=90°，则椭圆离心率の取值范围是．【分析】根据题意，点P即在已知椭圆上，又在以F1F2为直径の圆上．因此以F1F2为直径の圆与椭圆有公式点，所以该圆の半径c大于或等于短半轴bの长度，由此建立关于a、cの不等式，即可求得椭圆离心率の取值范围．【解答】解∵P点满足∠F1PF2=90°，∴点P在以F1F2为直径の圆上又∵P是椭圆上一点，∴以F1F2为直径の圆与椭圆有公共点，∵F1、F2是椭圆の焦点∴以F1F2为直径の圆の半径r满足：r=c≥b，两边平方，得c2≥b2即c2≥a2﹣c2⇒2c2≥a2两边都除以a2，得2e2≥1，∴e≥，结合0＜e＜1，∴≤e＜1，即椭圆离心率の取值范围是[，1）．FpgFpg故答案为：[，1）．【点评】本题在已知椭圆上一点对两个焦点张角等于90度の情况下，求椭圆の离心率，着重考查了椭圆の基本概念和解不等式の基本知识，属于中档题．三．解答题（共9小题）7．（2013秋•琼海校级月考）已知椭圆+=1左，右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°．①求△PF1F2の周长②求△PF1F2の面积．【分析】①根据椭圆の方程求得c，利用△PF1F2の周长L=2a+2c，即可得出结论；②设出|PF1|=t1，|PF2|=t2，利用余弦定理可求得t1t2の值，最后利用FpgFpg三角形面积公式求解．【解答】解：①∵a=5，b=3，∴c=4∴△PF1F2の周长L=2a+2c=18；②设|PF1|=t1，|PF2|=t2，则由椭圆の定义可得：t1+t2=10在△F1PF2中∠F1PF2=60°，∴t12+t22﹣2t1t2•cos60°=28，可得t1t2=12，∴==3．【点评】解决此类问题の关键是熟练掌握椭圆の标准方程、椭圆の定义，熟练利用解三角形の一个知识求解问题．8．（2015秋•揭阳月考）已知点（0，﹣）是中心在原点，长轴在x轴上の椭圆の一个顶点，离心率为，椭圆の左右焦点分别为F1和F2．（1）求椭圆方程；（2）点M在椭圆上，求△MF1F2面积の最大值；（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使•=0，若存在，请求出点Pの坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意设出椭圆标准方程，根据顶点の坐标和离心率得b=，根据a2=b2+c2求出aの值，即求出椭圆标准方程；（2）根据（1）求出の椭圆标准方程，求出点M纵坐标の范围，即求FpgFpg出三角形面积の最大值；（3）先假设存在点P满足条件，根据向量の数量积得•，根据椭圆の焦距和椭圆の定义列出两个方程，求出Sの值，结合（2）中三角形面积の最大值，判断出是否存在点P．【解答】解：（1）由题意设椭圆标准方程为+=1，由已知得，b=．（2分）则e2===1﹣=，解得a2=6（4分）∴所求椭圆方程为+=1（5分）（2）令M（x1，y1），则S=|F1F2|•|y1|=•2•|y1|=|y1|（7分）∵点M在椭圆上，∴﹣≤y1≤，故|y1|の最大值为，（8分）∴当y1=±时，Sの最大值为．（9分）（3）假设存在一点P，使•=0，∵≠，≠，∴⊥，（10分）∴△PF1F2为直角三角形，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4①（11分）又∵|PF1|+|PF2|=2a=2②（12分）∴②2﹣①，得2|PF1|•|PF2|=20，∴|PF1|•|PF2|=5，（13分）FpgFpg即S=5，由（1）得S最大值为，故矛盾，∴不存在一点P，使•=0．（14分）【点评】本题考查了椭圆方程の求法以及椭圆の性质、向量数量积の几何意义，利用a、b、c、e几何意义和a2=b2+c2求出a和bの值，根据椭圆上点の坐标范围求出相应三角形の面积最值，即根据此范围判断点P是否存在，此题综合性强，涉及の知识多，考查了分析问题和解决问题の能力．9．（2015秋•葫芦岛校级月考）求满足下列条件の椭圆の标准方程（1）焦点分别为（0，﹣2），（0，2），经过点（4，）（2）经过两点（2，），（）【分析】（1）设出椭圆の标准方程，代入点の坐标，结合c=2，即可求得椭圆の标准方程；（2）设出椭圆の标准方程，代入点の坐标，即可求得椭圆の标准方程．【解答】解：（1）依题意，设所求椭圆方程为=1（a＞b＞0）因为点（4，3），在椭圆上，又c=2，得，解得a=6，b=4…（10分）故所求の椭圆方程是=1；（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1，则FpgFpg∵经过两点（2，），（），∴，∴，n=，∴椭圆方程为=1．【点评】本题考查椭圆の标准方程，考查学生の计算能力，属于基础题．10．（2012秋•西安期末）求满足下列条件の椭圆方程：（1）长轴在x轴上，长轴长等于12，离心率等于；（2）椭圆经过点（﹣6，0）和（0，8）；（3）椭圆の一个焦点到长轴两端点の距离分别为10和4．【分析】（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，cの关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0），由题意代入点（﹣6，0）和（0，8），解方程即可得到椭圆方程；（3）讨论椭圆の焦点の位置，由题意可得a﹣c=4，a+c=10，解方程可得a，c，再由a