4二次函数与三角形存在性问题(2-3次课)

1二次函数与三角形存在性问题一、等腰三角形的存在性问题例1、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由。2巩固练习1、如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知A(3,0)，且M(1,38)是抛物线上另一点。连接，设点是轴上任一点，若以、、三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点的坐标。32、如图1，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为。（1）求该抛物线的解析式。（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由。（3）当x3时，在抛物线上求一点，使△CBE的面积有最大值。（图2、图3供画图探究）4二、直角三角形存在性例2、如图所示，将一边长为3的正方形放置到平面直角坐标系中，其顶点A、B均落在坐标轴上，一抛物线过点A、B，且顶点为P（1，4）（1）求抛物线的解析式；（2）y轴上是否存在一点N，恰好使得△PNB为直角三角形？若存在，直接写出满足条件的所有点N的坐标；若不存在，请说明理由．5巩固练习1、如图，抛物线＝－x2＋2x＋3与x轴交于B、E两点，与y轴交于A点．点P是直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t，是否存在点P，使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由62、如图,已知直线与抛物线相交于A,B两点,且点为抛物线的顶点,点B在x轴上.若点Q是y轴上一点,且为直角三角形,求点Q的坐标.7三、等腰直角三角形存在性例3、在平面直角坐标系中,抛物线32y2xx与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(1)请直接写出点A,C,D的坐标;(2)如图(1),在x轴上找一点E,使得△CDE的周长最小,求点E的坐标;(3)如图(2),F为直线AC上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得△AFP为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.8巩固练习1、如图,抛物线bxaxy2经过A(4,0),B(1,3)两点,点B、C关于抛物线的对称轴l对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.(1)求抛物线的解析式;(2)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,是否存在这样的点M、N,使得以点M为直角顶点△CNM是等腰直角三角形?若存在,请求出点M、N的坐标;若不存在,请说明理由.92、如图,已知直线3xy与x轴、y轴分别交于A,B两点,抛物线cbxxy2经过A,B两点,点P在线段OA上,从点O出发,向点A以每秒1个单位的速度匀速运动;同时,点Q在线段AB上,从点A出发,向点B以每秒2个单位的速度匀速运动,连接PQ,设运动时间为t秒.(1)求抛物线的解析式;(2)问:当t为何值时,△APQ为等腰直角三角形;10四、全等三角形的存在性问题例4、如图所示，将一边长为3的正方形放置到平面直角坐标系中，其顶点A、B均落在坐标轴上，一抛物线过点A、B，且顶点为P（1，4）（1）求抛物线的解析式；（2）点M为抛物线上一点，恰使△MOA≌△MOB，求点M的坐标；11巩固练习如图,已知直线与抛物线相交于A,B两点,且点为抛物线的顶点,点B在x轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)在(1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P,使与全等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;12五、相似三角形的存在性问题例5、如图，直线与轴、轴分别相交于点、，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为，且对称轴为直线2x。（1）求该抛物线的解析式。（2）连接，在轴上是否存在一点，使得以点，，为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由。13例6、如图,抛物线32bxaxy与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,点M为该抛物线的顶点,连接BC、CM、BM.(1)求该抛物线的解析式;(2)△BCM是直角三角形吗?请说明理由;(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.14巩固练习1、如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点。（1）试求，，的坐标。（2）将△ABC绕中点旋转，得到△ABD。①求点的坐标；②判断四边形的形状，并说明理由。（3）在该抛物线对称轴上是否存在点，使与相似？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由。152、已知某二次函数的图象与x轴分别相交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴相交于C（0，-3m）（m＞0），顶点为点D.（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？16课后作业1、如图1，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为。（1）求该抛物线的解析式。（2）连接，在轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。172、如图,已知直线3xy与x轴、y轴分别交于A,B两点,抛物线cbxxy2经过A,B两点,点P在线段OA上,从点O出发,向点A以每秒1个单位的速度匀速运动;同时,点Q在线段AB上,从点A出发,向点B以每秒2个单位的速度匀速运动,连接PQ,设运动时间为t秒.(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线顶点为M,连接BP,BM,MQ,问:是否存在t的值,使以B,Q,M为顶点的三角形与以O,B,P为顶点的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.