搜索
1/6初中、小学数列找规律方法与题解江苏省泗阳县李口中学沈正中拟编解答在初中、小学数学的一些赛题中，经常会出现数列找规律的问题，数列的题型多种多样，遵循的规律也各不相同，寻找规律的方法也非常灵活，下面举几例常见的题型探索一下，方法和解题思路。1、等差数列（1）、等差数列：相邻两数的后一个数与前一个数差相等的数列叫等差数列。在等差数列中，第n个数可以表示为：an＝a1＋(n－1)d，其中a1为数列的第一个数，d为后一个数与前一个数的差。【例1】在括号内填上所缺的数：4、10、16、22、28、34、（）、……。【解析】：因相邻两数的后一个数与前一个数差为6，所以第n个数是：an＝a1＋(n－1)d，故a7＝4＋(7－1)×6＝40，即括号内应为40。（2）、“相邻两数的增加（或减少）值为等差数列”的数列。这种数列第n个数也有一种通用求法。基本思路是：求出数列的第n－1个到第n个的增加（或减少）值(a2－a1)＋(n－2)d，则第n个数是an＝an－1＋(a2－a1)＋(n－2)d。【例2】在括号内填上所缺的数：3、7、15、27、（）、……。【解析】：因数列的增加值分别为：4、8、12、16、……，增加值为等差数列。所以第n个数是：an＝an－1＋(a2－a1)＋(n－2)d，故a5＝27＋(7－3)＋(5－2)×4＝43，即括号内应为43。这是通用解法，当然此题用分析观察的方法求出。2、等比数列2/6（1）、等比数列：相邻两数的后一个数与前一个数的比值相等的数列叫等比数列。在等比数列中，第n个数可以表示为：an＝a1qn－1，其中a1为数列的第一个数，q为后一个数与前一个数的比值。【例3】在括号内填上所缺的数：2、6、18、54、162、（）、……。【解析】：因邻两数的后一个数与前一个数的比值为3，所以第n个数是：an＝a1qn－1，故a5＝2×36－1＝486，即括号内应为486。（2）、“相邻两数的增加（或减少）值为等比数列”的数列。这种数列第n个数也有一种通用求法。基本思路是：求出数列的第n－1个到第n个的增加（或减少）值(a2－a1)qn－2，则第n个数是an＝an－1＋(a2－a1)qn－2。【例4】在括号内填上所缺的数：3、5、9、17、33、（）、……。【解析】：因数列的增加值分别为：2、4、8、16、32、……，增加值为等比数列。所以第n个数是：an＝an－1＋(a2－a1)qn－2，故a6＝33＋(5－3)×26－2＝65，即括号内应为65。这是通用解法，当然此题用分析观察的方法求出。3、其它的数列（非等差、等比数列）只有用分析、观察和一些技巧的方法。【例5】在括号内填上所缺的数：2、2、4、4、6、8、8、16、（）、……。【解析】：这个数列由等差数列2、4、6、8、……在前，等比数列2、4、8、16、……在后组成的交错数列，所以括号内应为10。【例6】在括号内填上所缺的数：1、3、2、5、3、7、4、9、（）、……。3/6【解析】：这个数列由自然数列1、2、3、4、……，在相邻两数之间插入这两个数的和组成的，所以括号内应为5。【例7】在括号内填上所缺的数：0、0、1、2、6、3、4、（）、5、……。【解析】：这个数列由新规定自然数列0、1、2、3、4、5、……，从0开始向右依次两两一组，在每组中间插入这两个数的积组成的，所以括号内应为20。【例8】在括号内填上所缺的数：0、3、8、15、24、（）、……。【解析】：容易发现，已知数列的每一项，都等于它的项数的平方减1。因此，第n个数是：an＝n2－1，故a6＝62－1＝35，即括号内应为35。类似题有：an＝n2＋1、an＝n2±2等。【例9】在括号内填上所缺的数：1、9、25、49、（）、……。【解析】：观察发现，已知数列的各项，依次对应于1、3、5、7、……的平方，即第n个数是：an＝（2n－1）2，故a5＝（2×5－1）2＝81，即括号内应为81。类似题有：an＝（2n＋1）2、an＝（2n±1）2等。【例10】在括号内填上所缺的数：2、9、28、65、（）、……。【解析】：观察发现，已知数列的各项，依次对应于项数的三次方加1，即第n个数是：an＝n3＋1，故a5＝53＋1＝126，即括号内应为126。类似题有：an＝n3－1、an＝n3±2等。【例11】在括号内填上所缺的数：4、16、36、64、100、（）、……。4/6【解析】：观察发现，已知数列的每一项，都等于它的项数2倍的平方。所以第n个数是：an＝（2n）2，故a6＝（2×6）2＝144，即括号内应为144。类似题有：an＝（3n）2等。【例12】在括号内填上所缺的数：0、6、16、30、48、（）、……。【解析】：观察发现，各项除以2，得0、3、8、15、24、……，而这个数列的每一项，都等于它的项数的平方减1。所以原数列的第n个数是：an＝2（n2－1），故a6＝2×（62－1）＝70，即括号内应为70。类似题有：an＝2（n2±1）、an＝3（n2±1）等。【例13】在括号内填上所缺的数：5，7，11，19，35，67、（）、……。【解析】：观察发现，后一项减前一项，得4、4、8、16、32、……，由此可看出原数列从第二项起，后一项等于前一项加2的（n－1）次方。所以原数列的第n个数是：an＝an－1＋2n－1，故a7＝67＋26－1＝99，即括号内应为99。类似题有：an＝an－1±2n±1。【例14】在括号内填上所缺的数：1、2、4、7、11、16、22、29、（）、……。【解析】：观察发现，相邻两数依次相差：1、2、3、4、5、6，、……，所以第n个数是：an＝an－1＋n－1，故a9＝29＋8＝37，即括号内应为37。类似题有：an＝an－1＋n＋1等。。【例14】在括号内填上所缺的数：2、5、10、17、26、37、50、（）、……。【解析】：观察发现，相邻两数依次相差：3、5、7、9、……，所以第n个数是：an＝an－1＋2n－1，故a8＝50＋15＝65，即括号内应为65。类似题有：an＝an－1＋2n＋1等。【例15】在括号内填上所缺的数：5/68、12、16、20、24、、（）、……。【解析】：仔细观察发现，依次是项数加1后乘以4所得数列，或原数列是数列9、16、25、36、49、……减去数列1、4、9、16、25、……对应项所得差组成，这两种说法实质上是一样的。所以第n个数是：an＝4（n＋1）＝（n＋2）2－n2，故a6＝4（6＋1）＝28，即括号内应为28。常见的还有以下规律：an＝n×(3n－2)an＝2n＋1＋1an＝n（n－1）an＝2n±1an＝n(n+1)(n+2)/3an＝n(n+1)/2……；项数依次＋3、－1循环:1、4、3、6、5、8、7、……后一项等于前两项和：1、1、2、3、5、8、……奇数项1、2、3、4、5、……与偶数项2、4、8、16、……交错组合：1、2、2、4、3、8、4、16、5、……奇数项：2、4、6、8、……与偶数项：1、3、9、27、……交错组合：2、1、4、3、6、9、8、27、10、……分组数列n、3n、5n：1、3、5、2、6、10、3、9、15、…………。总之，数列规律的类型是千变万化的，有的是所给数字间有规律，有的是隔一个数字间有规律。还有的是相邻两个数字之间地差呈某种规律。规律可能有同加同减同乘一个数或一个数列，或者平方等。小学的找规律很简单，只有加、减、乘、除类型，不会有平方或多次方6/6等类型。中学的稍微难一些，又在平方的基础上加上了平方或多次方等。