全等三角形辅助线系列之二---中点类辅助线作法大全

1/12全等三角形辅助线系列之二与中点有关的辅助线作法大全一、中线类辅助线作法1、遇到三角形的中线，可以倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，通过全等将分散的条件集中起来，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．2、遇到题中有中点，可以构造三角形的中位线，利用中位线的性质转移线段关系．3、遇到三角形的中线或与中点有关的线段，如果有直角三角形，可以取直角三角形斜边的中点，试图构造直角三角形斜边的中线，利用斜边中线的性质转移线段关系．典型例题精讲【例1】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，求证：ACBE．【解析】延长AD到G，使DGAD，连结BG∵BDCD，BDGCDA，ADGD∴ADCGDB≌，∴ACGB．GEAF又∵AFEF，∴EAFAEF∴GBED∴BEBG，∴BEAC．【例2】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFAD∥交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BGCF，求证：AD为ABC的角平分线．FEDCBAGFEDCBAFGEDCBAHAFGBEDC2/12【解析】延长FE到点H，使HEFE，连结BH．在CEF和BEH中CEBECEFBEHFEHE∴CEFBEH≌∴EFCEHB，CFBHBG∴EHBBGE，而BGEAGF∴AFGAGF又∵EFAD∥，∴AFGCAD，AGFBAD∴CADBAD∴AD为ABC的角平分线．【例3】已知AD为ABC的中线，ADB，ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：BECFEF．【解析】延长FD到N，使DNDF，连结BN、EN．易证BND≌CFD，∴BNCF，又∵ADB，ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F，∴90EDFEDN，利用SAS证明EDN≌EDF，∴ENEF，在EBN中，BEBNEN，∴BECFEF．【例4】如图所示，在ABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果2222BMCNDMDN，求证22214ADABAC．FEABDCFENABDC3/12【解析】延长ND至E，使DEDN，连接EB、EM、MN．因为DEDN，DBDC，BDECDN，则BDECDN≌．从而BECN，DBEC．而DEDN，90MDN，故MEMN，因此2222DMDNMNME，即222BMBEME，则90MBE，即90MBDDBE．因为DBEC，故90MBDC，则90BAC．AD为RtABC斜边BC上的中线，故12ADBC．由此可得22221144ADBCABAC．【例5】在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足90DFE．若3AD，4BE，则线段DE的长度为_________．【解析】如图、延长DF至点G，使得DFFG，联结GB、GE．由AFFB，有ADFBGF≌3BGADADFBGFADGB∥180GBEACB90GBE225GEGBEB．又DFFG，EFDG5DEGE．【例6】如图所示，在ABC中，ABAC，延长AB到D，使BDAB，E为AB的中点，连接CE、CD，求证2CDEC．图6GEFDBCA4/12【解析】解法一：如图所示，延长CE到F，使EFCE．容易证明EBFEAC≌，从而BFAC，而ACABBD，故BFBD．注意到CBDBACACBBACABC，CBFABCFBAABCCAB，故CBFCBD，而BC公用，故CBFCBD≌，因此2CDCFCE．解法二：如图所示，取CD的中点G，连接BG．因为G是CD的中点，B是AD的中点，故BG是DAC的中位线，从而1122BGACABBE，由BGAC∥可得GBCACBABCEBC，故BCEBCG≌，从而ECGC，2CDCE．【例7】已知：ABCD是凸四边形，且ACBD．E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于M；EF交BD于N，AC和BD交于G点．求证：GMNGNM．【解析】取AB中点H，连接EH、FH．∵AEED，AHBH，∴EH∥BD，12EHBD，∴GNMHEF∵AHBH，BFCF∴FH∥AC，12FHAC∴GMNHFE∵ACBD，∴FHEH∴HEFHFE，∴GMNGNM【例8】在ABC中，90ACB，12ACBC，以BC为底作等腰直角BCD，E是CD的中点，求证：AEEB且AEBE．HABCDEFMNGGNMFEDCBAHABCDEFMNGGNMFEDCBAEDCBAFABCED5/12【解析】过E作EFBC∥交BD于F135ACEACBBCE∵45DFEDBC∴135EFB又∵EFBC∥，12EFBC，12ACBC∴EFAC，CEFB∴EFBACE≌，∴CEADBE又∵90DBEDEB∴90DEBCEA故90AEB∴AEEB且AEBE．【例9】如图所示，在ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DEDF．过E、F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点P，设线段PA、PB的中点分别为M、N．求证：（1）DEMFDN≌；（2）PAEPBF．【解析】（1）如图所示，根据题意可知DMBN∥且DMBN=，DNAM∥且DNAM=，所以AMDAPBDNB．而M、N分别是直角三角形AEP、BFP的斜边的中点，所以EMAMDN，FNBNDM，又已知DEDF，从而DEMFDN≌．（2）由（1）可知EMDDNF，则由AMDDNB可得AMEBNF．而AME、BNF均为等腰三角形，所以PAEPBF．PFEDCBAHGPFEDCBA6/12【例10】已知，如图四边形ABCD中，ADBC，E、F分别是AB和CD的中点，AD、EF、BC的延长线分别交于M、N两点．求证：AMEBNE．【解析】连接AC，取AC中点H，连接FH、EH．∵DFCF，AHCH，∴12FHAD∥，12FHAD，同理，12EHBC，EHBC∥∵ADBC，∴EHFH，∴HFEHEF∵FHAM∥，EHBC∥∴AMEHFE，HEFBNE，∴AMEBNE【例11】已知：在ABC中，BCAC，动点D绕ABC的顶点A逆时针旋转，且ADBC，连结DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．（1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMFBNE(不需证明)．（2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，AMF与BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．【解析】图2：AMFENB，图3：180AMFENB证明：在图2中，取AC的中点H，连结HE、HF∵F是DC的中点，H是AC的中点∴HFAD∥，12HFAD，∴AMFHFE同理，HECB∥，12HECB，∴ENBHEF∵ADBC，∴HFHE，∴HEFHFE，∴ENBAMF证明图3的过程与证明图2过程相似．ACDMFENBAHCDMFENBF图3图2图1FNMDCEBANMDCEBAHF(N)DMCEBA7/12【例12】如图所示，P是ABC内的一点，PACPBC，过P作PMAC于M，PLBC于L，D为AB的中点，求证DMDL．【解析】如图所示，取AP、PB的中点E、F，连接EM、ED、FD、FL，则有DEBP∥且12DEBP，DFAP∥且12DFAP．因为AMP和BLP都是直角三角形，故12MEAP，12LFBP，从而EDFL，DFME．又因为MEDMEPPED，DFLDFPPFL，而22MEPMAPLBPPFL，且PEDDFP，所以MEDDFL，从而MEDDFL≌，故DMDL．【例13】如右下图，在ABC中，若2BC，ADBC，E为BC边的中点．求证：2ABDE．【解析】如右下图，则取AC边中点F，连结EF、DF．由中位线可得，12EFAB且BCEF．DF为RtADC斜边上的中线，∴DFCF．∴CDFC，又∵DFEFDECEF，即2CDFEC，∴DFEEDF，∴12DEEFAB，∴2ABDE．HABECDMNFHABECDMNFEDCBAFABDEC8/12【例14】如图，ABC中，ABAC，90BAC，D是BC中点，EDFD，ED与AB交于E，FD与AC交于F．求证：BEAF，AECF．【解析】连结AD．∵ABAC，90BAC∴45BC∵D是BC中点∴45BAD且ADBC∵EDDF∴90EDAADF∵90ADEEDB∴BDEADF在BDE与ADF中，ADBD，45DAFB，BDEADF∴BDEADF≌∴BEAF．∴AECF．【例15】在□ABCD中，ADBC，过点D作DEDF，且EDFABD，连接EF、EC，N、P分别为EC、BC的中点，连接NP.（1）如图1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论．【解析】（1）NPMN，180ABDMNP（2）点M是线段EF的中点(或其它等价写法).证明：如图，分别连接BE、CF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，ADCB，∴ABDBDC.ABCDEFFEDCBA图1ABCDPEFNM图2ABCDPEFNM1324PNAEFCDB9/12∵ADBC，∴DBCDCB，∴DBDC①∵EDFABD，∴EDFBDC.∴BDCEDCEDFEDC．即BDECDF．②又DEDF③，由①②③得△BDE≌△CDF．∴EBFC,12.∵N、P分别为EC、BC的中点，∴NP∥EB，12NPEB．同理可得MN∥FC，12MNFC．∴NPNM．∵NP∥EB，∴4NPC，∴4ENPNCPNPCNCP∵MN∥FC，∴3231MNEFCE∴314180180MNPMNEENPNCPDBCDCBBDCABD∴180ABDMNP【例16】在Rt△ABC中，90ACB，1tan2BAC．点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点．（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1．设CFkEF，则k=；（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：2BEDECF；（3）若6BC，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．【解析】（1）1k；（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q.BCADEFBDEAFCBAC1图2图备图10/12由题意，1tan2B