全等三角形辅助线系列之三---截长补短类辅助线作法大全

1/7全等三角形辅助线系列之三与截长补短有关的辅助线作法大全一、截长补短法构造全等三角形截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．截长补短法作辅助线，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．典型例题精讲【例1】如图，在ABC中，60BAC，AD是BAC的平分线，且ACABBD，求ABC的度数．【例2】已知ABC中，60A，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．DOECBA2/7【例3】如图，已知在△ABC内，60BAC，40C，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQAQABBP．【例4】如图，在四边形ABCD中，BCBA，ADCD，BD平分∠ABC，求证：180AC．【例5】点M，N在等边三角形ABC的AB边上运动，BDDC，120BDC，60MDN，求证：MNMBNC．【例6】如图在△ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证：ABACPBPC．QPCBACDBA21EABCDMNNMDCBAC21PDBA3/7【例7】已知MAN，AC平分MAN．（1）在图1中，若120MAN，90ADCABC．求证：ACADAB．（2）图2中，若120MAN，180ADCABC，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。【例8】如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上．求证：BCABDC．【例9】在正方形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在DC延长线上，45EAF，猜想DF、EF、BE的数量关系并加以证明。DECBA图2NMDACB图1MDCABN4/7【例10】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与ABC∠外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？【例11】已知：如图，ABCD是正方形，FADFAE，求证：BEDFAE．【例12】如图所示，已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且2BAEDAM．求证：AEBCCE．NCDEBMAFEDCBAMEDCBA5/7【例13】五边形ABCDE中，ABAE，BCDECD，180ABCAED，求证：AD平分∠CDE．【例14】若P为ABC所在平面上一点，且120APBBPCCPA，则点P叫做ABC的费马点．（1）若点P为锐角ABC的费马点，且60ABC，34PAPC，，则PB的值为_____；（2）如图，在锐角ABC外侧作等边ACB′，连结BB′．求证：BB′过ABC的费马点P，且BBPAPBPC′．【例14】己知，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足为D，P是BC上任一点，PE⊥AB，PF⊥AC垂足分别为E、F，求证：①PE+PF=CD.②PE–PF=CD.CEDBAB'CBAFEDCABGPFEDCABGP6/7课后复习【作业1】已知，AD平分∠BAC，ACABBD，求证：2BC．【作业2】如图，△ABC中，2ABAC，AD平分∠BAC，且ADBD，求证：CD⊥AC．【作业3】如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．DCBACDBA7/7【作业4】已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，180BD，求证：AEADBE．EDCBA