21.2.2-一元二次方程的解法-公式法

对于方程200axbxca（）.（2）方程两边同除以a，得.（1）将常数项移到方程的左边，得.（3）方程两边同时加上_______，得左边写成完全平方式，右边通分，得2axbxc2bcxxaa2()2ba222()().22bbcbxxaaaa2224().24bbacxaa（4）开平方…用配方法解200axbxca（）.2224().24bbacxaa∵a≠0,4a20,2240,4baca24.22bbacxaa24.2bbacxa221244,.22bbacbbacxxaa∴当b2－4ac≥0时，∴∴特别提醒推导时必须写240bac24bac一元二次方程20(0)axbxca解的情况由决定:(1)当时，方程有两个不相等的实数根；240bac(2)当时，方程有两个相等的实数根；240bac(3)当时，方程没有实数根.根的判别式一元二次方程20(0)axbxca.的根由方程的系数a，b，c确定．240bac242bbacxa将a，b，c代入式子当解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根．一元二次方程的求根公式利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，时，例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0解:a=2,b=5,c=-3,∴b2-4ac=52-4×2×(-3)=491、把方程化成一般形式。并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。∴x===即x1=-3,用公式法解一元二次方程的一般步骤：求根公式:X=4、写出方程的解：x1=?,x2=?3、代入求根公式:X=(a≠0,b2-4ac≥0)(a≠0,b2-4ac≥0)①②③④x2=填空：用公式法解方程3x2+5x-2=0解：a=，b=，c=.b2-4ac==.x==.=.即x1=,x2=.35-252-4×3×(-2)49-2求根公式:X=1.用公式法解下列方程：(1)x2+2x=5(a≠0,b2-4ac≥0)做一做61224202420445,2,1052:22xacbcbaxx解61,6121xx例2用公式法解方程：x2–x-=0解：方程两边同乘以3,得2x2-3x-2=0∴x=即x1=2,x2=-例3用公式法解方程：x2+3=2x解：移项，得x2-2x+3=0a=1，b=-2，c=3b2-4ac=(-2)2-4×1×3=0∴x=x1=x2=====当时，一元二次方程有两个相等的实数根。b2-4ac=0a=2，b=-3，c=-2.∴b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=25.2.用公式法解下列方程：(4)4x2-3x+2=0随堂练习0212)3(2xx022421,2,:2acbcba解.2221xx20220)2(x02332942,3,4:2acbcba解.方程没有实数根当时，一元二次方程没有实数根。b2-4ac＜0解：去括号，化简为一般式：242bbacxa例4解方程：2136xx23780xx这里3a、b=-7、c=822474384996470bac-（）方程没有实数解。用公式法解一元二次方程的一般步骤：242bbacxa3、代入求根公式:2、求出的值，24bac1、把方程化成一般形式，并写出的值。ab、、c4、写出方程的解：12xx、特别注意:当时,方程无实数解;240bac.,042根一元二次方程才有实数时当acb3、练习:用公式法解方程:x2-2x+2=0.1、方程3x2+1=2x中，b2-4ac=.2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0有两个相等的实数根，则n=.动手试一试吧！0-1或408842,22,1:2acbcba解.221xx202220)22(x1、m取什么值时，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解思考题174164144)4(4)12(4,4,12,1:222222mmmmmmacbmcmba解.417,0174mm得由.,04,4172实数解则原方程有两个相等的时当acbm思考题2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。当a，b，c满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？;24,24:,04,0:22212aacbbxaacbbxacba方程的根为时当解,21xx又.,0,0数原方程的两根互为相反时当acb,242422aacbbaacbb,242422aacbbaacbb即,0,0acb此时课堂心得本节课我有哪些收获？我认为本节课的重点是什么？想一想记一记问一问我还有哪些疑点？课下可要多交流呦！•解一元二次方程时应先化为一般形式，然后利用公式法求得方程的根.这是解一元二次方程的通法.•用公式法解一元二次方程时,必须把方程化为一般形式才能正确确定出a、b、c.在代入公式求解前,要先计算b2-4ac的值.我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用△表示.总结提高判别式定理当b2-4ac＞0时,方程有两个不相等的实数根当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根当b2-4ac＜0时,方程没有实数根当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根若方程有两个不相等的实数根,则b2-4ac＞0总结提高判别式逆定理若方程有两个相等的实数根,则b2-4ac=0若方程没有实数根,则b2-4ac＜0若方程有两个实数根,则b2-4ac≥0即一元二次方程：200axbxca当时，方程有两个不相等的实数根；0当时，方程有两个相等的实数根；0当时，方程没有实数根。0反过来，有当方程有两个不相等的实数根时，；0当方程有两个相等的实数根，；0当方程没有实数根，。0记住了，别忘了!一元二次方程根的判别式acb42两个不相等实根两个相等实根无实数根（1）（2）（3）＞0=0＜0（4）＜0≥0两个实数根两个不相等实根两个相等实根无实数根（1）（2）（3）（4）要点、考点1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况：(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；(3)当Δ＜0时，方程无实数根.(4)当Δ≥0时，方程有两个实数根2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面的知识主要用来求字母取值范围等问题.1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式.2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为“方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.应用1.不解方程判断方程根的情况：(1)x2-2kx+4(k-1)=0(k为常数)(2)x2-(2+m)x+2m-1=0(m为常数)=4(k2-4k+4)=4(k-2)2解：△=4k2-16k+16∴△0方程有两个不等实根解：△=m2-4m+8=m2-4m+4+4=(m-2)2+4∴△≥0方程有实根含有字母系数时，将△配方后判断1、不解方程，判断根的情况.(1)2x2-4x-5=0;(2)x2-(m+1)x+m=0.224(4)42(5)bac=560∴方程有两个不相等的实数根；224(1)41bacmm2214mmm2(1)m∴当m-1=0时，≥0方程有两个相等的实数根；方程有两个不相等的实数根；当m-1≠0时，解：解：(1)、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A、m﹥0B、m≥0C、m﹥0且m≠1Dm≥0且m≠1解：由题意，得m-1≠0①⊿=（－2m)2-4（m-1）m≥0②解之得，m﹥0且m≠1，故应选DD应用2：根据方程根的情况判断某一字母取值范围(3)m为何值时,关于x的一元二次方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？解：△=(2m+1)2-4m2=4m+1若方程有两个不等实根，则△0∴4m+10∴m-1/4对吗？∴m-1/4且m≠0注意二次项系数2、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.例:k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.解：∵一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.∴k≠0，240bac又∵224(2)43back=4-12k∴4-12k≥0，解得∴当方程有实数根.13k且k≠0时，13k问题三求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根证明：⊿=[-（m+7）]2-4×9×（m-3）=m2+14m+49-36m+108=m2-22m+157=（m-11）2+36∵不论m取何值，均有（m-11）2≥0∴（m-11）2+36＞0，即⊿＞0∴不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根小结：将根的判别式化为一个非负数与一个正数的和的形式3、证明字母系数方程有实数根或无实数根例:求证方程2x2-(m+5)x+m+1=0有两个不相等的实数根.把判别式配方解：∵224(5)42(1)bacmm2102588mmm2217mm2(1)16m0∴方程有两个不相等的实数根；问题四：解含有字母系数的方程。解方程：2550axx。提示：分类讨论：当a=0时，方程变为：550x当a≠0时，方程为一元二次方程，再利用△确定方程的根的个数，用求根公式求出解。解：当a=0时，-5x+1=0x=1.当a≠0时，方程为一元二次方程.△=25-20a.当△0，即a54时，525202axa；当△=0，即a=54时，x=2；当△0，即a54时，方程无解。2(32)220(0)mxmxmm(2008年北京市)已知:关于的一元二次方程(1)求证:方程有两个不相等的实数根；【解析】⑴2(32)220mxmxm是关于x的一元二次方程，222[(32)]4(22)44(2)mmmmmm．当0m时，2(2)0m，即0．方程有两个不相等的实数根．【例5】已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程有两个等根，试判断△ABC的形状.解：利用Δ＝0，得出a=b=c.∴△ABC为等边三角形.典型例题解析例6.一元二次方程有两个实数根,则m的取值范围是______________02212mmxxm21422mmm解844422mmm84m02m101mm即又12mm且变2、选择题（请用最快的速度，把“有两个实数根”的方程和“没有实数根”的方程的序号选入相应的括号内）（1）（2）（3）（4）（5）（6）280x210xx210xx2230xx有两个实数根的方程的序号是（）没有实数根的方程的序号是（）（5）（3）（2）（6）（4）（1）任何一个一元二次方程或者有两个实数根或者没有实数根a、c异号，一元二次方程有两个不相等的实数根290x2230xx求根公式:X=一、由配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)若b2-4ac≥0得这是收获的时刻，让我们共享学习的成果这是收获的时刻，让我们共享学习的成果二、用公式法解一元二次方程的一般步骤：1、把方程化成一般形式。并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。3、代入求根公式:X=(a≠0,b2-4ac≥0)4、写出方程的解:x1=?,x2=?这是收获的时刻，让我们共享学习的成果四、计算一定要细心，尤其是计算b2-4ac的值和代入公式时，符号不要弄错。三、当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根。