3.4-连续谱本征函数的“归一化”

量子力学教程(第二版)3.4连续谱本征函数的归一化3.4.1连续谱本征函数是不能归一化的一维粒子的动量本征值为p的本征函数(平面波)为i/epxpxCp,可以取中连续变化的一切实数值.22ddpxxCx0,C不难看出，只要则在量子力学中,坐标和动量的取值是连续变化的;角动量的取值是离散的;而能量的取值则视边条件而定.例如量子力学教程(第二版)3.4连续谱本征函数的归一化当然,任何真实的波函数都不会是严格的平面波,而是某种形式的波包.它只在空间某有限区域不为零.如果此波包的广延比所讨论的问题中的特征长度大得多,而粒子在此空间区域中各点的概率密度变化极微,则不妨用平面波来近似描述其状态.是不能归一化的.p在上例中,连续谱的本征函数是不能归一化的.量子力学教程(第二版)3.4连续谱本征函数的归一化0000δdδd1(0)xxxxxxxx0δxx0,,0xx0xxδ可以引用数学上的Dirac的为方便地处理连续谱本征函数的“归一化”,我们函数.3.4.2函数δ函数的定义δ量子力学教程(第二版)3.4连续谱本征函数的归一化fx0i01dde2kxxfxxkfx由Fourier积分公式,对于分段连续函数(b)函数也可表成0i01δde2kxxxxkδ比较式(a)与(b),0xxfx00δdfxxxxfx领域连续的任何函数对于在(a)等价地表示为:量子力学教程(第二版)3.4连续谱本征函数的归一化平面波的“归一化”问题,还可以采用数学上传统的做法即先让粒子局限于有限空间中运动(最后才让)./2,/2LLL动量本征态为在周期条件下i/~e,pxpx/2/2ppLL3.4.3箱归一化ˆixpx此时,为了保证动量算符为厄米算符,就要求波函数满足周期性边条件.量子力学教程(第二版)3.4连续谱本征函数的归一化同样,不能归一化的坐标本征态也可类似处理.,δδdδxxxxxxxxx因此,若取动量本征态为则i/1e2pxpxi/1,deδ2ppxppxppδ这样,就用函数的形式把平面波的“归一化”表示出来了.量子力学教程(第二版)3.4连续谱本征函数的归一化由周期条件,得i/2i/2ee,pLpL(粒子波长即).//;hpLn/nL即或所以或/2,pLn0,1,2,n2nnnhppLLi/e1,pLsin/0,cos/1,pLpL可以看出动量的可能取值就是不连续的.npp,L只要量子力学教程(第二版)3.4连续谱本征函数的归一化此时,与相应的动量本征态取为npi/i2/11eennpxnxLpxLL/2*/2dδnmLppnmLxxx利用正交归一化条件i/i2/11δeenpxxnxxLnnxxLL利用这一组正交归一完备的函数,可以构成如下函数:npxδ量子力学教程(第二版)3.4连续谱本征函数的归一化现在让即动量的可能取值趋于连续变化.1,/0,nnnLppphLi/i11δdede2π2πpxxkxxxxpk于是dnnnhppL此时,可以把,而或/hLdpdnLph量子力学教程(第二版)3.4连续谱本征函数的归一化在处理具体问题时,如要避免计算过程中出现的平面波“归一化”困难,则可以用箱归一化波函数代替不能归一化的.在计算的最后结果才让.npxpxL正交完备的归一化波函数为i/3/21epLprrδδδδxxyyzzrri2/3,,1enxxlyymzznlmL结论δ则函数可如下构成:三维情况量子力学教程(第二版)3.4连续谱本征函数的归一化i/331δdehprrrr上式表明,相空间一个体积元相当于有一个量子态.3h33,,dddxyznlmLppph而最后,当时L将连续变化33/dddxyzhLppp,,xyzppp量子力学教程(第二版)3.4连续谱本征函数的归一化设有一组彼此对易,且函数独立的厄米算符它们的共同本征函数记为,是一组量子数的笼统记号.12ˆˆˆ,,,AAAkk3.4.4力学量完全集定义设给定之后就能够确定体系的一个可能状态，则称构成体系的一组力学量完全集.12ˆˆ,,AAk量子力学教程(第二版)3.4连续谱本征函数的归一化2ka表示在下测量得到值的概率.这是波函数统计诠释的一般表述.kAA按照态叠加原理,体系的任何一个状态均可用展开(这里假定的本征值是离散的),kkkaˆAk利用的正交归一性k的归一化条件,kka2,1kka量子力学教程(第二版)3.4连续谱本征函数的归一化例如一维谐振子,Hamilton量本身就构成力学量完全集(也是守恒量完全集).对于一维自由粒子由于能量本征态有简并,并不构成力学量完全集.但把空间反射考虑进去,力学量完全集可以选为2/2,HpmP,.HPˆxpˆx对于一维粒子,动量就构成力学量完全集与此类似,坐标也可以构成力学量完全集.量子力学教程(第二版)3.4连续谱本征函数的归一化注意体系的一组力学量完全集中,力学量的个数并不一定等于自由度的数目.一般说来,力学量完全集中力学量的个数≥体系的自由度数目.用一组力学量完全集的共同本征函数来展开体系的任意波函数,在数学上涉及完备性这样一个颇为复杂的问题.量子力学教程(第二版)3.4连续谱本征函数的归一化经验如力学量完全集中包含有体系的Hamilton量,而本征值又有下界,则可以证明,这一组力学量完全集的共同本征态构成该体系的态空间的一组完备的基矢,即体系的任何一个态均可用它们展开.HH自然界中实际的物理体系的的本征值都有下界.因此,体系的任何态总可以用包含在内的一组力学量完全集的共同本征态来展开.HH在不显含的情况下,这种力学量完全集称为守恒量完全集.在量子力学中,找寻体系的守恒量完全集是一个极重要的问题.tH量子力学教程(第二版)3.4连续谱本征函数的归一化量子力学中的力学量用相应的线性厄米算符来表达,其含义如下:实验上观测的可能值,必为算符的某一本征值.ˆAAˆ,AAA在量子态之下,力学量的平均值由下式确定,力学量之间的关系通过相应的算符之间的关系反映出来.例如两个力学量与可以同时具有确定的观测值的必要条件,在一般情况下,为反之,若则一般说来,力学量与不能同时测定.ABˆˆ,0.ABˆˆ,0,ABAB量子力学教程(第二版)3.4连续谱本征函数的归一化特别是,在不显含的情况下,一个力学量是否是守恒量,可以根据与是否对易来判断.ˆAˆΗAHt具体详见4.1节!