[数学]模糊层次分析法

模糊层次分析法ContentsFAHP应用实例FAHP的步骤三角模糊函数FAHP的基本概念模糊数简介模糊数简介论域：用U表示，它指将所讨论的对象限制在一定范围内，并称所讨论的对象的全体成为论域。总假定它是非空的。论域即论题所包括的同类事物的总和。例如，当人们谈论白梨和鸭梨时，各种梨就是论域。不同论题所涉及的论域不同。如人们谈论数学时，一切数就是论域；人们议论物价时，一切经济问题就成为论域，而医疗保健问题则是论域之外的客体。模糊数简介模糊集：明确集合A：元素要么属于A，要么不属于A。模糊集合：在论域U内，对任意，常以某个程度属于，而非或。全体模糊集用表示。AxAxxA,0,1)(xxUx(0,1)~xA~xA()FU~A~A模糊数简介隶属函数：设论域U，如果存在则称为的隶属度，从而一般称为的隶属函数。论域中元素与的关系由隶属度给出，不是简单的二值，属于或不属于，而是多大程度上属于U上所有模糊子集的集合称为模糊幂集，记作():[0,1]AxU()Ax()xxA()Ax()Ax()FUUx~A~A模糊数简介例1：用A表示“高个子男生”的集，并认为身高1.80m以上的男生必为高个，而身高1.6m以下的男生都不是高个。用x表示某男生的身高，并给出μ的隶属函数如下取x分别等于1.65m、1.70m、1.75m，则分别等于0.125、0.50、0.875。即身高1.65m、1.70m、1.75m的男生，分别以0.125、0.50、0.875的程度属于高个子男生。A是“高个子男生”对应的模糊集。该例中的论域U是男生的身高。220,1.601.602,1.601.700.2()1.8012,1.701.800.21,1.80Axxxuxxxx()AxContentsFAHP应用实例FAHP的步骤三角模糊函数FAHP的基本概念模糊数简介FAHP的基本概念为什么引入FAHP（即FuzzyAHP）？在一般问题的层次分析中，构造两两比较判断矩阵时通常没有考虑人的判断模糊性，只考虑了人的判断的两种可能的极端情况：以隶属度1选择某个指标，同时又以隶属度1否定（或以隶属度0选择）其他标度值。有些问题中进行专家咨询时，专家们往往会给出一些模糊量（例如三值判断：最低可能值、最可能值、最高可能值；二值区间判断）所以引入模糊数改进AHPFAHP的基本概念上面已经说过，任意一个模糊集，都对应着一个隶属函数。但怎样确定一个模糊集的隶属函数是一个尚未得到解决的问题。通常模仿概率论中的分布函数作为隶属函数，叫做模糊分布函数：正态分布型；梯形分布；K次抛物线分布；Cauchy型分布；S型分布等等。这些函数论域为实数，带有参数，值域为[0，1]。ContentsFAHP应用实例FAHP的步骤三角模糊函数FAHP的基本概念模糊属简介三角模糊函数荷兰学者F.J.M.VanLaarhoven和W.Pedrycz提出了用三角模糊数表示模糊比较判断的方法。定义：设论域R上的模糊集M，如果M的隶属度函数表示为式中，和表示M的下界和上界值。和表示模糊的程度，越大，模糊程度越强。是模糊集M的隶属度为1时的取值。M[,][,]()0xlxlmmlxuxmuxmu其他:[0,1]MR,lmlululuulm三角模糊函数三角模糊数的几何解释：三角模糊数M表示为其中时，完全属于M，l和u分别下界和上界。在l,u以外的完全不属于模糊数M。μM(x)x10lmu(,,)lmuxmx三角模糊函数两个三角模糊数和的运算方法：11112222121212121212121211111111(,,);(,,)(,,)(,,)(,,)1111(,,)MlmuMlmuMMllmmuuMMllmmuuMlmuMuml1M2M三角模糊函数在指标评价的两两比较矩阵中，为了考虑人的模糊性在内，三角模糊数被用来代表传统的1，3，5，7，9，而用表示中间值。如下表。13579MMMMM，，，，2468MMMM，，，评价指标A和B的相对权重定义说明M1同等重要A，B对目标具有同样的贡献M3稍微重要A比B稍微重要M5重要A比B重要M7明显重要A比B明显重要M9非常重要A比B非常重要M2，M4，M6，M8中间重要性中间状态对应的标度值ContentsFAHP应用实例FAHP的步骤三角模糊函数FAHP的基本概念模糊数简介一、构造模糊判断矩阵·~构造模糊判断矩阵：Step1：调研对象组利用模糊数（）来表达他们的偏好。这里假设有三个调研成员。他们对一组指标进行比较（比如C1与C2的比较），各自得到一个模糊数，分别为Step2：将三个模糊数整合成一个，重复以上步骤，直到所有的比较变成一个模糊数。123123123(,,)333lllmmmuuu矩阵值全是模糊数19MM111222333(,,)(,,)(,,)lmulmulmu，，模型案例模型案例假设在这个供应商选择的模型中，主要考虑四个因素：成本，质量，服务，企业质量。三个专家对他们的模糊评价矩阵如下页图模型案例模型案例C1与C2的三个比较模糊值，可以通过以下方式整合为为一个模糊值：C1与C2相比，其重要度为：（0.39，0.67，1.00）。1/31/31/2=0.388931/21/21/1=0.666731+1+1=13与AHP相比，这一点有什么优势？模型案例对其他比值可做相似的处理，得到模糊矩阵：二、计算各个指标的综合权重Step1：第K层指标i的综合模糊值（初始权重）计算方式如下：拿FCM1举例：C1的初始权重计算如下。iDki111(),1,2,...,Dnnnkkkijijjijinaa441141444c1111(1,1,1)(0.39,0.67,1.00)(1,1,1)(0.39,0.67,1.00)(0.44,0.83.1)(2.33,3.33,4.33)(4.16,5.83,7.33)(0.1509,0.2897ijijijjijijjijaaaaD…+（1，1，1）=（14.42，20.139，27.611）,0.5083)同理：可以计算出C2,C3,C4的初始权重如下234(0.169,0.331,0.670)(0.1368,0.2731,0.5314)(0.0658,0.1062,0.2041)cccDDDStep2：去模糊化，以及求出C1至C4的最终权重模糊数的比较原则定义一：和是三角模糊数。的可能度用三角模糊函数定义为122112121211221()()()0mmluPmmulmumlotherwiseMM，1111(,,)Mlmu1111(,,)Mlmu将模糊值变为一般的值12MM定义二：一个模糊数大于其他K个模糊数的可能度，被定义为：12P)min()1,2,kkiPiMMMMMM（，，……，…拿上个例子来说明：对去模糊化：1234ccccDDDD，，，1213141234213431(0.16900.5083)()0.8913,(0.28970.5083)(0.33100.1690)()1,()1,(1)min(,,)min(0.8913,1,1)0.8913,(2)min(,,)min(1,1,1)1,(3)min(ccccccccccccccccPPPdCVdCVdCVDDDDDDDDDDDDDDD244123,,)min(0.9583,0.8622,1)0.8622,(4)min(,,)min(0.2247,0.1349,0.2872)0.1349,ccccccdCVDDDDDDD将以上权重值标准化，得到各指标的最终权重：注：将（a,b,c,d）标准化是指将其化为1234,,,)(0.30860.34620.29850.0467)CCCC（，，，(,,,)abcdabcdabcdabcdabcdStep3:确定其他层次的各指标权重利用相同的方法，得到下一层次的指标Ai权重wi。则指标Ai的总权重:经计算得到下层指标的总权重如下：AmA1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12TWm0.1420.1420.0250.2180.1050.0230.1810.0070.1110.0190.0020.026(1,2,3,4;=1,2,12)miCiTFAHP应用实例FAHP的步骤三角模糊函数FAHP的基本概念模糊数简介实例一：供应商的选择供应商选择是一个多目标决策问题，选择供应商的评价指标如下图。假设有三个供应商B1，B2，B3对定量指标的处理：只需标准化统计值来获得权重。如，B1，B2，B3三个供应商的产品合格率（指标A4）分别为90%，94%，98%。则标准化后得到权重如下。B1B2B3QualifiedrateA40.90.940.98WeightV40.3190.3330.3480.940.90.940.98V对定性指标的处理：专家评估来得到模糊判断矩阵。用FAHP中的三角模糊数来表示指标权重。如，确定B1，B2，B3的企业信用的指标权重。Step1.专家评估模糊判断供应商B1B2B3B1（1，1，1）（1，2，3）（2，3，4）（1，1，2）（1，1，2）（1，1，2）（1，2，3）B2（1/3，1/2，1/1）（1/2，1/1，1/1）（1/3，1/2，1/1）（1，1，1，）（1，1，2）（1，2，3）（1，1，2）B3（1/2，1/1，1/1）（1/2，1/1，1/1）（1/3，1/2，1/1）（1/2，1/1，1/1）（1/3，1/2，1/1）（1/2，1/1，1/1）（1，1，1，）Step2:构造其他指标的两两比较矩阵。略Step3：计算“企业信用”的模糊权重EnterprisecreditFuzzyweightDviB1(0.25,0.45,0.84)B2(0.17,0.29,0.54)B3(0.14,0.26,0.40)i111(),1,2,...,DnnnkkkijijjijinaaStep4:将所有模糊数去模糊化。122113312332()1;()0.65;()1;()0.44;()1;()0.88;BBBBBBBBBBBBPPPPPPDDDDDDDDDDDDB1B2B3B2B1B3B3B1B2(B1)min(,)min(1,1)1,(B2)min(,)min(0.581,1)0.65,(B3)min(,)min(0,0)0.44.dVdVdVDDDDDDDDD归一化后，得到各指标的最终权重Step5：计算总的供应商权重TVBn.B1在指标A10（企业信用）下的权重是：得到下表：B2B3B1,,)=(0.48,0.31,0.21)(vvv12Bn1()TVniiiVTW110100.0190.480.0091VTWB1B2B3A10.05510.06630.0203A20.04070.06530.0357A30.00790.00620.0111A40.06940.07250.0757A50.0230.05620.0261A60.00990.00830.0051A70.03870.05680.0853A80.00350.00150.0019A90.02980.01760.0635A100.00910.00590.0040A110.00010.00090.0006A120.00330.02290TVBn0.29050.38020.3293综上判断：B2的权重最高，选择B2供应商。