函数模型及其应用-(共29张PPT)

[小题热身]1．下列函数中随x的增大而增大速度最快的是()A．v＝1100·exB．v＝100lnxC．v＝x100D．v＝100×2x解析：只有v＝1100·ex和v＝100×2x是指数函数，并且e2，所以v＝1100·ex的增大速度最快，故选A.答案：A2．(2017·广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2xB．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2x解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.答案：D3．(2015·北京卷)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量/升加油时的累计里程/千米2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A．6升B．8升C．10升D．12升解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35600－35000＝600(升米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．答案：B4．如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()解析：由图可知，张大爷开始匀速离家直线行走，中间一段离家距离不变，说明在以家为圆心的圆周上运动，最后匀速回家．故选D.答案：D5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．答案：186．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为______(m)．解析：设矩形花园的宽为ym，则x40＝40－y40，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20m时，面积最大．答案：20[知识重温]一、必记2●个知识点1．三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性①______②______③______增长速度④________⑤________相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与⑥______平行随x增大逐渐表现为与⑦______平行随n值变化而不同增函数增函数增函数越来越快越来越慢y轴x轴2.函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)的增长速度比较(1)指数函数y＝ax和幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y＝ax的增长速度⑧______y＝xn的增长速度，因此总存在一个x0，当x＞x0时有⑨______.快于ax＞xn(2)对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)，尽管在x的一定范围内可能会有logax＞xn，但由于y＝logax的增长速度慢于y＝xn的增长速度，因此在(0，＋∞)上总存在一个实数x0，使x＞x0时，⑩______.(3)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)与y＝xn(n＞0)尽管都是增函数，但由于它们⑪__________不同，而且不在同一个“档次上”，因此在(0，＋∞)上随x的增大，总会存在一个x0，当x＞x0时，有⑫______________.logax＜xn增长速度ax＞xn＞logax二、必明2●个易误点1．易忽视实际问题对自变量的影响，单纯考虑解析式下的函数定义域．2．在解决函数模型后，要注意回归实际，验证这个数学结果对实际问题的合理性．考向一一次函数或二次函数模型[自主练透型][例1]经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(天)的函数，且日销售量近似地满足g(t)＝－13t＋1123(1≤t≤100，t∈N)．前40天价格为f(t)＝14t＋22(1≤t≤40，t∈N)，后60天价格为f(t)＝－12t＋52(41≤t≤100，t∈N)，试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值．[解析]当1≤t≤40，t∈N时，S(t)＝g(t)f(t)＝(－13t＋1123)(14t＋22)＝－112t2＋2t＋112×223＝－112(t－12)2＋25003，所以768＝S(40)≤S(t)≤S(12)＝25003.当41≤t≤100，t∈N时，S(t)＝g(t)f(t)＝(－13t＋1123)(－12t＋52)＝16t2－36t＋112×523＝16(t－108)2－83，所以8＝S(100)≤S(t)≤S(41)＝14912.所以，S(t)的最大值为25003，最小值为8.——[悟·技法]——一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略(1)直接考查一次函数、二次函数模型．解决此类问题应注意三点：①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；②确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；③解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．(2)以分段函数的形式考查．解决此类问题应注意以下三点：①实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；②构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；③分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)．提醒：(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)对构造的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解．——[通·一类]——1．A，B两城相距100km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？解析：(1)由题意知x的取值范围为[10,90]．(2)y＝5x2＋52(100－x)2(10≤x≤90)．(3)因为y＝5x2＋52(100－x)2＝152x2－500x＋25000＝152x－10032＋500003，所以当x＝1003时，ymin＝500003.故核电站建在距A城1003km处，能使供电总费用y最少．考向二函数y＝x＋ax模型的应用[互动讲练型][例2]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．[解析](1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋8003x＋5(0≤x≤10)．(2)f(x)＝6x＋10＋8003x＋5－10≥26x＋10·8003x＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x＋10＝8003x＋5，即x＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．——[悟·技法]——应用函数y＝x＋ax模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝bx叠加而成的．(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋bx的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)＝ax＋bx的形式．(3)利用模型f(x)＝ax＋bx求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．——[通·一类]——2．“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝k50x＋250(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式并化简；(2)当x为多少平方米时，y取得最小值，最小值是多少万元？解析：(1)C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，∵C(0)＝k250＝4，∴k＝1000，∴y＝0.2x＋100050x＋250×4＝0.2x＋80x＋5(x≥0)．(2)y＝0.2(x＋5)＋80x＋5－1≥20.2×80－1＝7，当x＋5＝20，即x＝15时，ymin＝7，∴当x为15平方米时，y取得最小值7万元．考向三指数函数与对数函数模型[互动讲练型][例3](2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年[解析]设2015年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n200，得1.12n2013，两边取对数，得nlg2－lg1.3lg1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．[答案]B——[悟·技法]——应用指数函数模型应注意的问题(1)指数函数模型的应用类型．常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．(2)应用指数函数模型时的关键．关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．——[通·一类]——3．(2015·四川卷)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是__________小时．解析：由题意得eb＝192，e22k＋b＝48，即eb＝192，e11k＝12，所以该食品在33℃的保鲜时间是y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝(12)3×192＝24(小时)．答案：24