函数模型及其应用课件

第九节函数模型及其应用1.三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y=ax(a1)y=logax(a1)y=xn(n0)在(0,+∞)上的增减性___________________________增长速度越来越快越来越慢相对平稳大小比较存在一个x0,当xx0时,有___________单调递增单调递增单调递增logaxxnax2.常见的几种函数模型(1)直线模型:y=___________型,图象增长特点是直线式上升(x的系数k0),通过图象可以直观地认识它,特例是正比例函数模型y=________.(2)反比例函数模型:y=________型,图象增长特点是y随x的增大而减小.(3)指数函数模型:y=a·bx+c(b0,b≠1,a≠0)型,图象增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b1,a0),常形象地称为指数爆炸.kx+b(k≠0)kx(k0)k(k0)x＞(4)对数函数模型:y=mlogax+n(a0,a≠1,m≠0)型,图象增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢(底数a1,m0).(5)幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0)型,其中最常见的是二次函数模型:__________(a≠0),图象增长特点是随着自变量的增大,函数值先减小,后增大(a0).y=ax2+bx+c(6)分段函数模型:y=图象特点是每一段自变量变化所遵循的规律不同.可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取值范围,特别是端点.1122nnfx,xD,fx,xD,fxxD,，判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.()(2)“指数爆炸”是指数型函数y=a·bx+c(a≠0,b0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.()(3)幂函数增长比直线增长更快.()(4)不存在x0,使.()0xn0a0axlogx＜＜【解析】(1)错误.当x∈(2,4)时,x22x.(2)错误.增长越来越快的指数型函数是y=a·bx+c(a0,b1).(3)错误.幂函数y=xn(0n1,x1)的增长速度比直线y=x(x1)的增长速度慢.(4)错误.当0a1时,存在x0,有.答案:(1)×(2)×(3)×(4)×0xn0a0axlogx＜＜1.某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%,若每年的平均增长率相同(设为x),则以下结论正确的是()(A)x22%(B)x22%(C)x=22%(D)x的大小由第一年的产量确定【解析】选B.设第一年的产量为a,则a(1+x)2=a(1+44%),∴(1+x)2=1+44%,解得x=20%.2.一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()【解析】选B.由题意知h=20-5t(0≤t≤4),故选B.3.拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)=0.5×[m]+1(单位:元),其中m0,[m]表示不大于m的最大整数(如[3.62]=3,[4]=4),当m∈[0.5,3.2]时,函数f(m)的值域是()(A){1,2,3,4}(B){1,1.5,2,2.5}(C){1,1.5,2.5,3}(D){1.5,2,2.5}【解析】选B.当m∈[0.5,3.2]时,[m]所有可能值为0,1,2,3共4个,故f(m)的值域为{1,1.5,2,2.5}.4.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=x2+2x+20(万元).一万件售价是20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为()(A)35万件(B)18万件(C)22万件(D)9万件【解析】选B.利润L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.1212考向1一次函数与二次函数模型【典例1】西部山区的某种特产由于运输原因,长期只能在当地销售,当地政府对该项特产的销售投资收益为:每年投入x万元,可获得利润P=-(x-40)2+100(万元).当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投资,在未来10年的前5年中,每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路,5年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的5年中,该特产既在1160本地销售,也在外地销售,在外地销售的投资收益为:每年投入x万元,可获利润Q=-(60-x)2+(60-x)(万元).问从10年的总利润看,该规划方案是否具有实施价值?【思路点拨】计算实施规划前后10年的总利润.通过比较总利润的大小,判断规划方案是否具有实施价值.1591601192【规范解答】在实施规划前,由题设P=-(x-40)2+100(万元)知，每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元.则10年的总利润为W1=100×10=1000(万元).实施规划后的前5年中,修建公路的费用为30×5=150(万元),又由题设P=-(x-40)2+100知，每年投入30万元时,利润P=(万元).116011607958前5年的利润和为(万元).设在公路通车后的5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而用剩下的(60-x)万元投资于外地的销售，则其总利润为W2=［-(x-40)2+100］×5+()×5=-5(x-30)2+4950.当x=30时,(W2)max=4950(万元).从而10年的总利润为+4950＞1000,故该方案有极大实施价值.795277551508811602159119xx160227758【拓展提升】求解一次函数与二次函数模型问题的关注点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错.(2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法.(3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.【变式训练】某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润和投资单位:万元).(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式.(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A,B两种产品的生产.①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?②问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?【解析】(1)设A,B两种产品分别投资x万元,x万元,x≥0,所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元.由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2.根据图象可解得f(x)=0.25x(x≥0).g(x)=2(x≥0).xx(2)①由(1)得f(9)=2.25,g(9)==6.∴总利润y=8.25万元.②设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元.则y=,0≤x≤18.令=t,t∈［0,］,则y=∴当t=4时,ymax==8.5,此时x=16,18-x=2.∴当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润,约为8.5万元.29118x2x4x32221117t8t18t4.442172考向2指数函数模型【典例2】一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比.(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?1422【思路点拨】(1)根据10年的砍伐面积为原来的一半,列方程求解.(2)根据到今年为止,森林剩余面积为原来的,列方程求解.(3)求出第n年后森林剩余面积,根据森林面积至少要保留原面积的列不等式求解.2214【规范解答】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0＜x＜1)，则a(1-x)10=a，即(1-x)10=.解得x=1-.(2)设经过m年剩余面积为原来的，则,解得m=5.故到今年为止，已砍伐了5年.12121101()222m1m102211a1xa,()(),222即m1102(3)设从今年开始,以后砍了n年,则n年后剩余面积为.解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年.n2a1x2nn212a1xa,1x,244令即n310211n3()(),,22102【拓展提升】应用指数函数模型应注意的问题(1)指数函数模型,常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.(2)应用指数函数模型时,关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型.(3)y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.【提醒】解指数不等式时,一定要化为同底,且注意对应函数的单调性.【变式训练】现有某种细胞100个,其中有占总数的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律发展下去,至少经过多少小时,细胞总数可以超过1010个?(参考数据:lg3=0.477,lg2=0.301)12【解析】现有细胞100个,先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数,1小时后,细胞总数为2小时后,细胞总数为3小时后,细胞总数为4小时后,细胞总数为可见,细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为:y=100×()x,x∈N*，1131001002100;222131391001002100;222241919271001002100;24248127127811001002100;28281632由100×()x＞1010,得()x＞108,两边取以10为底的对数,得xlg＞8,∴x＞∵≈45.45,∴x＞45.45.答:至少经过46小时,细胞总数超过1010个.3232328,lg3lg288lg3lg20.4770.301考向3分段函数模型【典例3】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式.(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到1辆/小时).【思路点拨】(1)当20≤x≤200时,利用待定系数法求v(x)的表达式,进而确定当0≤x≤200时,分段函数v(x).(2)根据(1)求出f(x),再根据函数的单调性与基本不等式求最值.【规范解答】(1)由题意:当0≤x≤20时,v(x)=60;当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b.故函数v(x)的表达式为v(x)=1a,200ab0,320ab60,200b,3由已知得解得60,0x20,200x,20x200.3＜(2)依题意并由(1)可得f(x)=当0≤x≤20时,f(x)为增函数，故当x=20时,其最大值为60×20=1200;当20＜x≤200时,f(x)=x(200-x)≤当且仅当x=200-x，即x=100时,等号成立.所以当x=100时,f(x)在区间(20,200］上取得最大值.60x,0x20,x200x,20x200.3＜1321x200x10000()