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1第2章计算机图形处理技术22.2.3三维图形的几何变换一、基本变换三维图形的几何变换与二维图形类似,其基本变换也包括平移变换、比例变换、旋转变换、对称变换、错切变换等,同时通过基本变换的组合可以实现复杂变换。1、平移变换平移变换是使立体在三维空间移动一个位置,而形状保持不变。与二维平移变换相类似,平移变换矩阵为:其中,l,m,n分别为沿x,y,z方向上的平移量。1010000100001nml32、比例变换比例变换使立体在三维空间中沿x、y、z坐标轴进行放大、缩小等变换。比例变换矩阵为:其中,a,e,j分别为沿x,y,z方向的比例因子。它们的作用是使物体产生比例变换,当各变比相同时,称为全比例变换。1000000000000jea43、旋转变换三维图形旋转变换是指空间物体绕某坐标轴旋转,三维变换可以看成是由三个二维旋转变换组合而成,并分别取x,y,z为旋转轴。我们规定在右手坐标系中,物体旋转的正方向为右手螺旋方向,即从该轴向原点看,是逆时针方向。如图所示。xyyxyxoαγβoozzz5(1)绕x轴正向旋转角变换矩阵为(2)绕y轴正向旋转角变换矩阵为10000cossin00sincos00001T10000cos0sin00100sin0cosT6(3)绕z轴正向旋转角变换矩阵为立体分别绕x、y、z轴旋转90的变换结果如图所示。(a)原图(b)绕x轴旋转90度(c)绕y轴旋转90度(d)绕z轴旋转90度1000010000cossin00sincosTzyxyzxyzxyzxooo74、对称变换对称变换包括对坐标原点,对坐标轴和对坐标平面的对称,下面主要介绍立体对坐标平面的对称变换。(1)对xOy坐标平面的对称变换变换矩阵为1000010000100001T8(2)对xOz坐标平面的对称变换变换矩阵为(3)对yOz坐标平面的对称变换变换矩阵为1000010000100001T1000010000100001T95、错切变换与二维空间的错切变换功能相似,三维空间的错切变换可使空间立体上某个面沿x、y、z三个方向发生错移变形,其变换矩阵一般表示为根据这些元素所在的列,判断出沿哪个坐标轴发生错切。若d、h不为0,则沿x轴方向有错切;若b、i不为0,则沿y轴方向有错切;若c、f不为0,则沿z轴方向有错切。我们还可以根据这些元素所在的行,判断出是关于哪个变量的错切。比如,b、c是关于变量x的错切;d、f是关于变量y的错切;h、i是关于变量z的错切。错切变换按错切方向的不同,可有6种情况,即分别沿x、y、z的正、负方向错切。(书P81表4-1)1000010101ihfdcbT10二、逆变换所谓逆变换即是与上述的基本变换过程相反的变换,如以三维图形的逆变换为例,对平移的逆变换就是把移回到原处。其矩阵表达式为:对x轴旋转的逆变换是用-代替,所产生的变换为:其他一些几何变换的逆变换与此类似,再此不再一一介绍。***zyxzyx1***1zyxzyx1010000100001nml1***1zyxzyx10000cossin00sincos00001)()()()(11三、三维图形的组合变换与二维组合变换一样,通过三维组合变换可以实现对三维物体的复杂变换。下面我们以绕任意轴旋转变换为例进行说明。假设空间任意轴P1P2由A(x1,y1,z1)及其方向数(n1,n2,n3)定义,空间一点A(x,y,z)绕轴P1P2旋转角,得到新点A*(x*,y*,z*),即其中,T为绕任意轴旋转的组合变换矩阵,构造矩阵T的步骤如下:1***1zyxTzyx12(1)将点A与旋转轴P1P2一起作平移变换,使旋转轴P1P2过原点,P1与原点重合。10100001000011111zyxT13(2)令P1P2轴首先绕x轴旋转角,使其与xOz平面共面,然后再绕y轴旋转角,使其与z轴重合。10000cossin00sincos000012T10000cos0sin00100sin0cos)()()()(14(3)将A点绕z轴(即P1P2轴)旋转角。(4)求步骤(2)和步骤(1)的逆变换,将旋转轴AA’恢复为原来的位置。那么,绕任意轴P1P2旋转的组合变换矩阵为T=T1T2T3T2-1T1-11000010000cossin00sincos3T15例4:已知一立方体A(1,1,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,1,1),试写出该立方体1.绕y轴顺时针旋转90度的变换矩阵;2.绕x轴逆时针旋转180度的变换矩阵;3.变换后A点的坐标。XYZA(1,1,1)B(1,1,0)C(0,1,0)D(0,1,1)16090100000010010010010000cos0sin00100sin0cos1T解:(1)、绕Y轴顺时针旋转0180100001000010000110000cossin00sincos000012T(2)、绕X轴逆时针旋转1710000001001001001000010000100001100000010010010021TTT1,1,1,110000001001001001,1,1,11,,,1,,,TzyxzyxAAAAAA(3)、变换后坐标则变换后A点的坐标为:18四、投影变换投影就是从投影中心发出射线,经过三维物体上的每一点后,与投影平面相交所形成的交点集合,这个集合又称为三维物体在二维投影平面上的平面几何投影(简称投影)。根据投影中心与投影平面的距离,投影可分为平行投影、透视投影。当投影中心(射线源)与投影平面的距离为有限时,则投影为透视投影;若此距离为无穷大,则投影为平行投影。平行投影的一个特点是投影线彼此平行,当投影线垂直于投影平面时,为正平行投影;否则为斜平行投影。透视投影的特点是投影线彼此成放射状照射四周空间,正透视投影要求存在一条投影中心线垂直于投影平面,且要求其他透视线对称于投影中心线,否则为斜透视投影。19斜透视投影三点透视二点透视一点透视正透视投影透视投影斜二测斜等测斜平行投影正三轴测正二轴测正等轴测正轴测投影侧视图俯视图主视图正投影正平行投影平行投影投影透视投影的图形与眼睛观察景物的原理及效果是一致的,因而常用于图形的真实效果显示。由于平行投影后直线间的平行关系不变,因而它常用于三维图形交互和生成工程图的视图。20本课程只介绍正投影中的三面视图及正轴侧投影中的正等轴侧投影。在机械设计图中经常用来表达物体形状的三面视图即主视图、俯视图、侧视图均属于正投影。工程制图中的正投影就是按平行正投影绘制的,它取物体的主要坐标轴方向(长、宽、高方向)作为投影方向。它的特点是物体的投影能反映实形,即能直接反映物体在投影面方位的尺寸大小。21(一)正投影1、三面投影xzyVWH22(1)V面投影它的投影线与y轴平行,投影平面为xOz平面(V面),即y=0,它的变换矩阵为:(2)H面投影投影线与z轴平行,投影平面为xoy平面(H面),即z=0,变换矩阵为:1000010000000001pvT1000000000100001pHT23(3)、W面投影投影线与x轴平行,投影平面为yoz平面(W面),即x=0,变换矩阵为:2、三面投影的展开在机械制图中,获得三面投影图后,还需将它们展开,得出在同一平面上的三面视图。变换过程为:1000010000100000pwT2425V面投影图保持不变,即主视图。H面投影图绕x轴顺时针旋转90度,可得到与xOz平面重合的视图,为了保持与主视图有一定的距离,再沿z轴的负方向平移zp得到俯视图。W面投影图绕z轴逆时针旋转90度,得到与xOz平面重合的视图。为了保持与主视图之间的距离,再沿x轴负方向平移xp距离得到左视图。因此三面投影的展开图应该是投影变换矩阵、旋转变换矩阵和平移变换矩阵三者的复合变换。26(1)主视图。又称前视图、正视图、正面投影等。它的变换矩阵为(2)俯视图。又称平面图、水平投影。1000010000000001vT1000000000100001HT1000090cos90sin0090sin90cos00001)()()()(100010000100001pz100000001000001pz27(3)侧视图。又称左视图、侧面投影。根据上述三个视图的变换矩阵,即可根据一个三维物体的各角点的坐标值,获得它的三视图的顶点的坐标,生成三视图。例如立体A,其主视图的各点坐标值为:A*=A1000010000100000wT100001000090cos90sin0090sin90cos100010000100001px100010000010000px1000010000000001111222111nnnvzyxzyxzyxT1000010000000001vT100000001000001pHzT从上述视图的变换矩阵中发现,第二列元素均为0,即变换后y均为0,这是由于变换后三个投影均落在XOZ平面内。100010000010000pWxT28其俯视图的各点坐标值为:A*=A其侧视图的各点坐标值为:A*=A100000001000001111222111pnnnHzzyxzyxzyxT100010000010000111222111pnnnHxzyxzyxzyxT29(二)正轴侧投影正轴测投影图产生的过程如下图所示:将图(a)中所示的立方体直接向V面投影,得到(b)图;将立方体绕z轴正转角,再向V面投影,得到(c)图;将立方体先绕z轴逆时针旋转角,再绕x轴顺时针旋转角,然后向V面投影。得到(d)图,即立方体的正轴测投影图。•(a)(b)(c)(d)xyzVWH30在上式中,只要给、不同的值,就可得到不同的正轴测投影图。可以证明当,为正等轴侧投影,代入矩阵中得到正等轴测投影变换矩阵为1000010000cossin00sincosT10000cossin00sincos00001100001000000000110000cos000sincos0s
本文标题:旋转变换-计算机辅助设计技术基础
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