2000我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷

第1页共13页15706647921232000我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷.......................................................................12001我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷.......................................................................42002我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第一试）...................................................72004年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题.................................................................102000我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第一试）一．已知m,n为整数，方程2(2)1180xnnxm有两个不相等的实数根,方程2(6)1370xnnxm有两个相等的实数根.求n的最小值，并说明理由。二．已知M、N分别在正方形ABCD的边DA、AB上，且MN=AN，过A作BM的垂线，垂足为P。求证：∠APN=∠BNC三．设N是正整数，如果存在大于1的正整数k，使得N-2)1(kk是k的正整数倍，则N称为一个“千禧数”，试确定在1，2，3，…，2000中“千禧数”的个数并说明理由。2000我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第二试）一．给定四个命题：（1）sin15°与sin75°的平方和为1；（2）函数y=x2-8x+6的最小值为–10；（3）3441aaa；（4）若101055xxxx，则x=10.其中错误的是。二．如图，△ABC中，AD和BE相交于F，已知△AFB的面积=12平方厘米，△BFD的面积=9平方厘米，△AFE的面积=6平方厘米，那么，四边形CDEF的面积等于平方厘米。三．在△ABC中，AB=63，BC=2，△ABC的面积为1，若∠B是锐角，则∠C的度数是。四．某自来水公司水费计算办法如下：每户每月用水不超过5吨的，每吨收费0。85元；第2页共13页1570664792123超过5吨的，超出部分每吨收取较高的的定额费用。已知今年7月份张家用水量与李家用水量之比为2：3，其中张家当月水费是14.60元，李家当月水费是22.65元，那么，超出5吨部分的收费标准是每吨元。五．满足方程11x2+2xy+9y2+8x-12y+6=0的实数根对（x,y）的个数是。六．函数y=x2-3|x|+7的图象与函数y=x2-3x+|x2-3x|+6的图象的交点个数是.七．已知抛物线y=x2+(k+1)x+1与x轴的两个交点A,B不全在原点左侧，抛物线的顶点为C，要使△ABC恰为等边三角形，那么k的值为.八．如图，已知AB是圆O的直径，PQ是圆O的弦，PQ与AB不平行，R是PQ的中点。作PS⊥AB,QT⊥AB,垂足分别为S,T(S≠T)，并且∠SRT=60，则PQAB的值等于.九．满足方程222251313xxxxxx的实数x的值是.十．在四边形ABCD中，边AB=x，BC=CD=4,DA=5,它的对角线AC=y，其中x,y都是整数，∠BAC=∠DAC,那么，x=.第3页共13页1570664792123第4页共13页15706647921232001我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第1试）一．在锐角ΔABC中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，E为垂足，DF⊥AB，F为垂足。O为ΔABC的外心。求证：（1）ΔAEF～ΔABC；（2）AO⊥EF。二．给定代数式–x3+100x2+x中的字母x只允许在正整数范围内取值。当这个代数式的值达到最大值时，x的值等于多少？并证明你的结论。三．（1）证明存在非零整数对（x,y）,使代数式11x2+5xy+37y2的值为完全平方数；(2)证明存在六个非零整数a1,b1,c1,a2,b2,c2,其中a1:a2≠b1:b2,使得对于任意自然数n,当x=a1n2+b1n+c1,y=a2n2+b2n+c2时，代数式11x2+5xy+37y2的值都是完全平方数。2001我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第二试）一．111111235263223526526=。二．在长方形ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH相交于O，HC与EF相交于I。已知AH:HB=AE：ED=m:n,△COI的面积为1平方厘米，那么矩形ABCD的面积等于平方厘米。三．将三个数：315,11,219用两个不等号“”连接起来，正确的结果应该是：。四．点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，∠C为直角，DE∥AB，且3DE=2AB，AE=13，BD=9，那么AB的长等于。五．已知：x,y,z是正整数，并且满足340315xyxyzxyz那么，x-y+z的值等于。六．已知点D，E，F分别在△ABC的三边BC，CA，AB上，G为BE与CF的交点，并且BD=DC=CA=AF，AE=EC=BF，那么DGBC的值等于。七．如果满足||x2-6x-16|-10|=a的实数x恰有6个，那么实数a的值等于。八．已知△ABC为等腰直角三角形，∠C为直角，延长CA至D，以AD为直径作圆，连BD第5页共13页1570664792123与圆O交于点E，连CE，CE的延长线交圆O于另一点F，那么BDCF的值等于。九．满足下列两个条件（1）对所有的自然数，x，x-2001x+n≥0;（2）存在自然数x0，使x02-2002x0+n0.的正整数n的个数为十．一批救灾物资分别随16列货车从甲站紧急调运到三百多千米以外的乙站，已知每列货车的平均速度都相等，且记为v千米/小时。两列货车实在运行中的间隔不小于225v千米，这这批救灾物资全部运到目的地最快需要6小时，那么每隔分钟从甲站向乙站发一趟货车才能使这批货物在6小时内运到。第6页共13页1570664792123第7页共13页15706647921232002我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第一试）一．已知a,b,c是三个两两不同的奇质数，方程2()(1)52250bcxax有两个相等的实数根。（1）求a的最小值；（2）当a达到最小时，解这个方程。二．设AB,CD为圆O的两直径，过B作PB垂直AB，并与CD延长线相交于点P，过P作直线PE，与圆分别交于E,F两点，连AE,AF分别与CD交于G,H两点（如图），求证：OG=OH.三．已知a1,a2,…,a2002的值都是+1或-1，设S是这2002个数的两两乘积之和。（1）求S的最大值和最小值，并指出能达到最大值，最小值的条件；（2）求S的最小正值，并指出能达到最小正值的条件2002我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第二试）一．计算：20033-20013-6×20032+24×1001=。二．在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于点D，如果∠A=27°，那么∠BDC=。三．已知0≤a-b≤1,1≤a+b≤4，那么当a-2b达到最大值时，8a+2002b的值等于。四．如果一个正整数等于它的各位数字之和的4倍，那么，我们就把这个正整数叫做四合数。所有四合数的和等于。五．方程x-2|x+4|-27=0的所有根的和为。六．如果当m取不等于0和1的任意实数时，抛物线2123mmyxxmmm在平面直角坐标系上都过两个定点，那么这两个定点间的距离为。七．方程323(231)330xxx的三个根分别是。八．在Rt△ABC中，∠A=30°,∠A的平分线的长为1cm，那么△ABC的面积为。九．已知：第8页共13页1570664792123100%商品出售价商品成本价商品利润率商品成本价某商人经营甲乙两种商品，每件甲种商品的利润率为40%，每件乙种商品的利润率为60%，当售出的乙种商品比售出的甲种商品的件数多50%时，这个商人得到的总利润率为50%，那么当售出的甲，乙两种商品的件数相等时，这个商人的总利润率是。十．设计一把直尺ABC，BC在地面上，AB与地面垂直，并且AB=10cm，移动一个半径不小于10cm的圆形轮子，使轮子紧靠A点，且与BC相切于D点（如图）。设计要求在D处的刻度恰好显示这个轮子的半径（以厘米为单位）。那么，当BC的长度为1M时，BC上可标出的最大刻度是第9页共13页1570664792123第10页共13页15706647921232004年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题第一试1．求所有能使9992002nn为正整数的正整数n．2．已知BE、CF是锐角△ABC的两条高，求证∠ABE的平分线、∠ACF的平分线与线段EF的垂直平分线相交于一点．3．在平面直角坐标系中，求同时满足下列两个条件的点的坐标；(1)直线y=-2x+3通过这样的点；(2)不论m取何值，抛物线y=mx2+(m-32)-(2m-83)都不通过这样的点．第二试1.若0340337cbacba，则abcba222=．2．能使关于x的方程012211112xaxxxxx只有一个实数根的所有a的值的总和等于．3．要使方程x4+(m-4)x2+2(1-m)=O恰有一个不小于2的实根，那么m的取值范围是．4．在平面直角坐标系中，所有满足方程|x|+|y|=2004一||x|-|y||的点(x,y)所围成的图形的面积为．第11页共13页15706647921235．已知yxyyx523，那么当-4x2+12y-8达到最大值时，22x-33y=．6．已知y=100+10nx-10x-100x，其中n为正整数．要使0y≤300对于满足0x≤16的所有x都成立，那么n=．7．设PO是边长为1的正△ABC的外接圆内的一条弦。已知AB和AC的中点都在PQ上．那么，PQ的长等于．8．在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=9O°，AD、BE、CF是△ABC的三条内角平分线．那么,△DEF的面积等于．9．在△ABC中，AB=6，BC=5，AC=4，AP是它一条内角平分线，AP的垂直平分线EF与AP相交于点E，与BC的延长线相交于点F．那么AF=．10．如图，A、B两地相距600km,过A地的一条铁路AD笔直地沿东西方向向两边延伸．点B到AD的最短距离为360km．今计划在铁路线AD上修一个中转站C，再在BC间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么，为使通过铁路由A到C再通过公路由C到B的总运费达到最小值，中转站C的位置应使AC=km．．2004年我爱数学初中生夏令营数学竞赛答案第一试1．设9992002nn=k，k为正整数．则n2-200kn+999k=0．①设方程①有正整数根n1，且另一根为n2由韦达定理有n1+n2=200k。②n1n2=999k．③因此，n2也是正整数，且n1、n2都满足题设条件。不妨设n1≥n2由②得n1≥100k．由③得n2=999k/n1≤999k/100k．所以，n2≤9．经检验可知，只有n2=5符合条件，此时，k=25，n1=4995．因此，所求n为5，4995．2．如图。设∠ABE的平分线与∠ACF的平分线相交于点N，联结NE、NF．由B、C、E、F四点共圆，则∠ABE=∠ACF，∠FBN=∠FCN．所以，B、C、N、F四点共圆．从而，B、C、E、N、F五点共圆．于是．由∠FBN=∠NBE得NF=NE．故N在EF的垂直平分线上．3．由(2)知m≠O．设点(x0，y0)满足(1)和(2)，则y0=-2x0+3，①且对任意非零实数m，都有y0≠mx02+(m-32)x0-(2m-83)．②将式①代入式②，第12页共13页1570664792123并整理得(x0-1)(x0+2)m≠-34x0+821．所以x0=1，-2或63/32．代入①式得同时满足条件(1