高中数学二次函数对称轴问题

1二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设fxaxbxca()()20，求fx()在xmn[]，上的最大值与最小值。分析：将fx()配方，得顶点为baacba2442，、对称轴为xba2当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上fx()的最值：（1）当bamn2，时，fx()的最小值是fbaacbafx2442，()的最大值是fmfn()()、中的较大者。（2）当bamn2，时若bam2，由fx()在mn，上是增函数则fx()的最小值是fm()，最大值是fn()若nba2，由fx()在mn，上是减函数则fx()的最大值是fm()，最小值是fn()当a0时，可类比得结论。二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1.轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例1.函数yxx242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。图1图2练习.已知232xx，求函数fxxx()21的最值。22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例2.如果函数fxx()()112定义在区间tt，1上，求fx()的最小值。图1图2图8例3.已知2()23fxxx，当[1]()xtttR，时，求()fx的最大值．二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a0时))((212)())((212)()(21max如图如图，，nmabnfnmabmfxf)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxf当a0时)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxffxfmbamnfnbamn()()()()()()()min，，如图如图21221291033、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例4.已知x21，且a20，求函数fxxax()23的最值。图3例5.(1)求2f(x)x2ax1在区间[-1,2]上的最大值。(2)求函数)(axxy在]1,1[x上的最大值。4.轴变区间变二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。例6.已知24()(0),yaxaa，求22(3)uxy的最小值。二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。例7.已知函数2()21fxaxax在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值。例8.已知函数2()2xfxx在区间[,]mn上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。4例9.已知二次函数2f(x)ax(2a1)x1在区间3,22上的最大值为3，求实数a的值。补充练习作业1求函数322xxy在1,ttt的最大值和最小值2若函数1)(2axxxf在3,0上的最小值为2求实数a的值3关于x的不等式0122axx在3,1x上恒成立，求a的取值范围4设222axxxf当,1x时，axf)(恒成立，求a的取值范围5已知函数1,1,)1(23)(22xaxaxxf（1）写出函数最小值)(ag的解析式（2）若)(xf的最小值为13求a的值