基本不等式课件(最新)

2abab≤§3.4基本不等式:学习目标：1.探索并了解基本不等式的证明过程.2.用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.在北京召开的第24届国际数学家大会的会标一、新知引入取材于中国古代数学家赵爽的弦图思考：会标中含有哪些几何图形？思考：你能否在这个图中找出一些相等关系或不等关系？二、探究新知ADCBHFGEab22ba探究那么它们有相等的情况吗？1.正方形ABCD的面积S=＿＿＿.２.四个直角三角形的面积和S′=＿＿.３.结合图形S与S′有什么样的不等关系？S＞Ｓ222abab＞即()ab22ba2abADBCEFGHba22ab222()ababab＞222()abababADBCE(FGH)ab．222ababab、，≥+思考：对于任意实数成立吗？你能证明吗？ab222,abab≥当且仅当时,等号成立.一般地,对于任意实数,我们有当且仅当时,等号成立.ab,ab证明:222abab≥20ab（）≥2222=ababab（）因为所以（作差法）如果,我们用代替上式中的,可得到什么结论?ab，22()()2abab≥2abab即：≥)200(ababba，≤通常我们把上式写作ab,当且仅当时，等号成立.ab00ab，问题1：①2abab≥证明：要证②只要证_______ab≥③_____0ab≥要证②只要证显然,是④成立的.当且仅当时,④中的等号成立.2ab2abbaab2(______)0≥要证③，只要证④(0,0)2ababab≤这样我们又一次得到：你能否利用不等式的性质，直接推导出这个不等式呢？问题2：2abab≥所以成立.你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示半径OD?OD=______ab2ab当且仅当点C与圆心重合，即当时，等号成立.ab=002ababab≥（＞，＞）③圆的半径OD与CD的大小关系怎样?问题3.基本不等式可以叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.0,02ababab≤（）当且仅当时，等号成立。基本不等式ab2ab我们常把叫做正数a，b的几何平均数，叫做正数a，b的算术平均数.ab例1.用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？2100m,,xmym解：设矩形菜园的长为宽为210022()40.xyxyxyxy≥≥，由得：≥可100,xy则xy等号当且仅当时成立，10.xy此时mm因此这个矩形的长、宽都为10时，所用篱笆最短，最短篱笆是40.2().xym篱笆的长为三、新知应用练习1:若,求函数的最小值.10xyxx归纳：两个正数积为定值，则和有最小值.min10,011221,1,2xxyxxxxxxyx解：当即时例2.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？,,xmym解：设矩形菜园的长为宽为2()3618,xyxy则1822xyxy由≤==92xym矩形菜园的面积为S=9yxyx当且即时,仅当，等号成立，2.因此这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m81xy可得≤练习2.已知,求函数的最大值.01(1)xyxx最大值.归纳：两个正数和为定值，则积有2max11:1)()2411124xxyxxxxxy解（≤当且仅当即时a与b为正实数一正二定三相等积定和最小和定积最大当且仅当时，等号成立ba=运用基本不等式求最值的限制条件为：0,02ababab≤（）达标检测1.下列结论正确的是（）A.当0x且1x≠时，1lg2.lgxx≥B.当时，12.xx≥C.2x≥当时,1xx的最小值为D.当时，21xx的最小值为.x22.（1）已知9(00xyxy，）则123+yxxxy的最小值是.（2）已知6xyxy的最大值是.3.（1）当1x时，求函数的最小值.2.则(00xy，）（2）当01x时,求函数21-2yxx（）最值.B6912140x0x课堂小结（1）本节课的主要学习内容是什么？（2）在应用基本不等式求最值时，需要注意哪几点？（3）在本节课学习中，运用了哪些数学思想方法？一正，二定，三相等.数形结合，作差法，换元法等.00.(,)2ababab≤222(,)ababaRbR≥布置作业1003.412PA课本习题组，课下思考1.当时，求函数的最值.2.若时，求函数的最大值.0x1+yxx102x12yxx（）