人教A版高中数学必修5《一章-解三角形--1.1-正弦定理和余弦定理-解三角形的进一步讨论》优质课教

“一师一优课”教案课题：射影定理在解三角形中的应用教学目标：1、掌握正弦定理、余弦定理，能利用两大定理解决求角，判断三角形形状；2、通过对射影定理的探究，掌握射影定理的内容，并能运用射影定理解答三角形的边角问题；3、理解正弦定理、余弦定理、射影定理之间的内在联系，通过一题多解，体会三大定理在解答不同类型的问题时的威力；4、培养学生探究意识和辩证地看事物的思想。重点：射影定理的推导和运用课型：新授课教法：探究式、讲练结合法学法指导：在熟悉了正弦定理、余弦定理的基础上进一步探究射影定理，并比较三大定理在形式上的特点，在解题时注意沟通已知和所求之间的联系，达到迅速解题的目标。教学过程：一、复习回顾：（学生回答）1、正弦定理：2、余弦定理：二、新课讲授：1、射影定理的探究：法一：几何法，直接的三角形中通过作辅助线找边角关系：如图,在三角形ABC中,AD垂直BC,D为垂足,则BD=，CD=。法二、由sinA=sin（B+C）结合和角公式及正弦定理进行推导；射影定理：AbBacAccabBccbacoscoscoscoscoscos典例讲解：类型一：判定三角形的形状：例1.（2013年陕西高考卷）若设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()DBCAA.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定分析：法一：（化边为角），由正弦定理：.,21sinsinsin0sinsin)sin(sincoscossinsinsincoscossin22BaAaAAACBCBCBACBCB选且法二：（化角为边）由余弦定理：BAAAaaAaabcaabcaAaacbcacabbcab选即即,21sinsin.sin22sin22222222222222法三：运用射影定理：由射影定理：）（选BaAAaAaaBccba2,1sin)0(sincoscos简洁明快，赏心悦目，一个字：爽练习1.为（）则若所对的边分别为中，角ABCAbccbaCBAABC,cos,,,,,A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形分析：思路一：化边为角，由角的取值定形；思路二：化角为边，由边的关系定形，思路三：再看射影定理的妙用：ABBaBaAbAbBaAbcAbc为钝角，选而由射影定理：由0cos0,0coscoscoscoscoscos类型二求角的问题例2.（2013年高考，辽宁卷），在中，ABC内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若(),,21cossincossinBbabABcCBa则且A.6B.3C.32D.65解：思路一：化边为角，进而求Bsin，最后定角；思路二：由条件中出现,coscosAcCa可利用射影定理求解解：由射影定理：Accabcoscos由bABcCBa21cossincossinbAcCaB21)coscos(sin即bbB21sin21sinB不是最大角故又Bba6B练习2、（2013全国卷II卷，节选）已知的对边分别为的内角,,,,,cbaCBAABC.,sincosBBccba求解：由射影定理：41tansincos0,sincossincoscoscoscoscosBBBBcBcBcBccbBccbBccba即而三、课堂小结：1、三大定理的形式及内容；2、解题要注意结合其他公式或知识：如内角和为、诱导公式、大角对大边等、三角函数的性质等；3、三大定理是一个有机的整体，不是要评出孰优孰劣，解题时要合理地把它们运用于解题过程之中去，要学会打组合拳。作业：1、设,53coscos,,,,cAbBacbaCBAABC且满足：的对边分别为的内角则BAtantan的值为.解：由射影原理：AbBaccoscos)coscos(53coscosAbBaAbBaAbBacos8cos2即asBSinASinAasB.4BAtan4tan即4tantanBA2、（2011.山东高考卷）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知bacBCCCosA2coscos2，求SinASinC的值解：由已知，BacaosBcbAbcos2cos2coscaosBCbBAtb2cos2coscos即ac2即SinAC2sin2sinASinC3、（2016年浙江高考卷）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知Bacbcos2，证明BA2分析：按通常思路五化边为角，再利用诱导公式，和差角公式进行证明求解。下面用射影定理证明：证：由射影定理：AbBaccoscosBacbcos2AbBabBaAbBabsincoscos2coscos即：BcoABaBsincossinsin=)sin(BA∵0＜A，B＜,BAB即BA2此题：利用射影定理、正弦定理、迅速找到A、B两角之间的关系简化了解题过程。